円筒座標系

円筒座標系は、選択した基準軸（反対図の軸 L）からの距離、選択した基準方向（軸 A）に対する軸からの方向、および軸に垂直な選択した基準面（紫色の部分を含む平面）からの距離によって点の位置を指定する3 次元座標系です。最後の距離は、基準面のどちら側が点に面しているかに応じて、正または負の数として指定されます。

システムの原点は、3 つの座標すべてを 0 にできる点です。これは、基準面と軸の交点です。軸は、基準面にあり、原点から始まり基準方向を指す光線である極軸と区別するために、円筒軸または縦軸などさまざまな名前で呼ばれます。縦軸に垂直な他の方向は、放射状線と呼ばれます。

軸からの距離は半径距離または半径と呼ばれることがあり、角度座標は角度位置または方位角と呼ばれることもあります。半径と方位角は、基準面と平行な点を通る平面内の2次元極座標系に対応するため、極座標と呼ばれます。3番目の座標は、高さまたは高度（基準面が水平と見なされる場合）、経度位置、^[1]、または軸方向位置と呼ばれることがあります。^[2]

円筒座標は、円形断面を持つ直管内の水の流れ、金属円筒内の熱分布、長くまっすぐな電線内の電流によって生成される電磁場、天文学における降着円盤など、縦軸を中心に回転対称性を持つ物体や現象に関連して役立ちます。

これらは「円筒極座標」^[3]や「極円筒座標」^[4]と呼ばれることもあり、銀河内の星の位置を指定するために使用されることもあります（「銀河中心円筒極座標」）。^[5]

点Pの3 つの座標 ( ρ、φ、z )は次のように定義されます。

• 半径距離 ρは、 z軸から点Pまでのユークリッド距離です。
• 方位角 φは、選択した平面上の基準方向と、原点から平面上のPの投影までの線との間の角度です。
• 軸座標または高さ z は、選択した平面から点Pまでの符号付き距離です。

極座標と同様に、円筒座標( ρ、φ、z )の同じ点には、( ρ、φ ± n ×360°、z )と(− ρ、φ ± (2 n + 1)×180°、z )という無数の同等の座標があります。ここで、 nは任意の整数です。さらに、半径ρが 0 の場合、方位角は任意です。

各点に一意の座標セットが必要な場合、半径を非負（ρ ≥ 0）に制限し、方位角φ を[−180°,+180°]や[0,360°]などの 360° にわたる特定の間隔に制限することができます。

円筒座標の表記法は統一されていません。ISO規格31-11では( ρ 、φ、z )を推奨しています。ここでρは半径座標、φ は方位角、z は高さです。ただし、半径はrまたはs、方位角はθまたはt、3 番目の座標はhまたは (円筒軸が水平と見なされる場合) x、あるいはコンテキスト固有の文字で表記されることもよくあります。

具体的な状況や多くの数学的な図解では、正の角度座標は、正の高さを持つ任意の点から見て 反時計回りに測定されます。

円筒座標系は、数ある 3 次元座標系の 1 つです。次の式を使用して、それらの座標系を変換できます。

円筒座標と直交座標間の変換では、前者の基準面が直交座標のxy平面（方程式z = 0）であり、円筒軸が直交座標のz軸であると仮定すると便利です。この場合、 z座標は両方のシステムで同じであり、円筒座標（ρ、φ、z）と直交座標（x、y、z）の対応は、極座標の場合と同じであり、つまり、 一方向と 他方向で同じです。アークサイン関数はサイン関数の逆であり、[− ⁠$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{if }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ かつ }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ かつ }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}$$π/2⁠、+ ⁠π/2⁠ ] = [−90°, +90°]。これらの式により、方位角φ は[−90°, +270°]の範囲に。

逆正接関数を使うと、角度も[− ⁠π/2⁠、+ ⁠π/2⁠ ] = [−90°, +90°] 、最初に 計算せずに計算することもできます。他の式については、極座標系の 記事を参照してください。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \rho}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ かつ }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ かつ}}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

多くの現代のプログラミング言語は、上記のようなケース分析を実行する必要なく、 xとy が与えられたときに、範囲(−π, π)内の正しい方位角φを計算する関数を提供します。たとえば、この関数は、Cプログラミング言語ではatan2 ( y , x )によって呼び出され、Common Lispでは(atan y x )によって呼び出されます。

球面座標（半径r、仰角または傾斜角θ、方位角φ ）は、 θ が仰角を表すか傾斜角を表すかに応じて、次のように円筒座標に変換したり、円筒座標から変換したりできます。

円筒極座標を含む多くの問題では、線要素と体積要素を知っておくと便利です。これらは、パスと体積を含む問題を解くための積分に使用されます。

線要素は $${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \ ,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$$

ボリューム要素は $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$$

一定の半径ρの表面（垂直な円筒） の表面要素は$${\displaystyle \mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$$

方位角φが一定の面（垂直半平面）の表面要素は $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}$$

一定の高さzの面（水平面）の表面要素は $${\displaystyle \mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}$$

このシステムのdel演算子により、勾配、発散、回転、ラプラシアンについて次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}$$

円筒対称性を持つシステムにおけるラプラス方程式の解は、円筒調和関数と呼ばれます。

円筒座標系では、粒子の位置は次のように表される^[6]。 粒子の速度は位置の時間微分であり、 項はポアソンの公式から来ている。その加速度は^{[6]である。}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},}$$${\displaystyle \rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}}$$

• 標準座標変換のリスト
• 円筒座標と球座標のベクトル場
• 円筒座標と球座標でのDel

• モース、フィリップ・M. ;フェシュバッハ、ハーマン(1953)。理論物理学の方法、第1部。ニューヨーク市：マグロウヒル。pp. 656–657。ISBN 0-07-043316-XLCCN  52011515 。
• マーゲナウ、ヘンリー; マーフィー、ジョージ M. (1956)。物理と化学の数学。ニューヨーク市: D. ヴァン ノストランド。p. 178。ISBN 9780882754239. LCCN  55010911. OCLC  3017486.
• Korn, Granino A.; Korn, Theresa M. (1961).科学者とエンジニアのための数学ハンドブック。ニューヨーク市: McGraw-Hill。pp. 174–175。LCCN 59014456。ASIN  B0000CKZX7。
• ロバート・ザウアー。イシュトヴァーンのサボ（1967）。Ingenieurs の数学。ニューヨーク市: S​​pringer-Verlag。 p. 95.LCCN 67025285  。
• ツヴィリンガー、ダニエル (1992)。統合ハンドブック。ボストン：ジョーンズ＆バートレット出版社。p. 113。ISBN 0-86720-293-9. OCLC  25710023.
• Moon, P.; Spencer, DE (1988)。「円筒座標 (r, ψ, z)」。座標系、微分方程式、およびその解を含む場の理論ハンドブック(訂正第 2 版)。ニューヨーク市: S​​pringer-Verlag。pp. 12–17、表1.02。ISBN 978-0-387-18430-2。

• 「円筒座標」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• MathWorld による円筒座標の説明
• 円筒座標 フランク・ワッテンバーグによる円筒座標を示すアニメーション