n 項テスト

数学 において、n次発散テスト^[1]は、無限級数の発散を調べる簡単なテストです。

または限界が存在しない場合は、発散します。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

多くの著者はこのテストに名前を付けないか、より短い名前を付けています。^[2]

級数が収束するか発散するかをテストする場合、使いやすさから、このテストが最初にチェックされることがよくあります。

p進解析の場合、項テストは非アルキメデスの超距離三角形不等式による収束の必要かつ十分な条件です。

より強い収束テストとは異なり、テストという用語は、それ自体では級数が収束することを証明できません。特に、テストの逆は真ではありません。代わりに言えることは次のことだけです。

収束する可能性もあれば、収束しない可能性もあります。言い換えれば、テストが決定的ではない場合です。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$

調和級数は、その項が極限でゼロに近づく発散級数の典型的な例である。^[3] p級数のより一般的なクラスは、 ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}$

テストの可能性のある結果の例:

• p ≤ 0の場合、 n番目の項のテストにより、その級数が発散していると判断されます。
• 0 < p ≤ 1の場合、n番目の項のテストは決定的ではありませんが、収束の積分テストにより級数は発散します。
• 1 < pの場合、n番目の項のテストは決定的ではありませんが、収束の積分テストによって級数は収束します。

このテストは通常​​、逆否定形式で証明されます。

収束するなら、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

s _{n が}級数の部分和である 場合、級数が収束するという仮定は、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=L}$

ある数Lに対して^[4]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=L-L=0.}$

級数が収束すると仮定すると、それはコーシーの収束テストに合格することを意味します。つまり、任意の Nに対して、${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}\right|<\varepsilon }$

全てのn > Nおよびp ≥ 1に対して成立する。p = 1と設定すると、主張^{[5]が回復する。}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

最も単純な項テストは、実数の無限級数に適用されます。コーシー基準または極限の線形性を利用する上記の2つの証明は、他の任意のノルムベクトル空間^[6] または加法的に記述された任意のアーベル群でも機能します。

• ブラベネック、ロバート (2005)。実解析の研究のためのリソース。MAA。ISBN 0883857375。
• ハンセン、ヴァン・ルンズゴー（2006）。関数解析: ヒルベルト空間に入る。世界科学。ISBN 9812565639。
• Kaczor、Wiesława、Maria Nowak (2003)。数学的解析の問題。アメリカ数学会。ISBN 0821820508。
• ルディン、ウォルター(1976) [1953].数学的解析の原理(第3版). マグロウヒル. ISBN 0-07-054235-X。
• スピヴァック、マイケル (2008)。微積分学(第 4 版)。ヒューストン、テキサス州: Publish or Perish。ISBN 978-0-914098-91-1。
• スチュワート、ジェームズ (1999)。微積分学: 初期超越関数(第 4 版)。ブルックス/コール。ISBN 0-534-36298-2。
• Șhubi, Erdoğan S. (2003).機能分析. Springer. ISBN 1402016166。