もし、そして、もし、

↔≡⟺ の 場合に
限り、を表す論理記号

論理学や数学、哲学などの関連分野では、「もし～ならば」（しばしば「iff 」と略される）は、文と文の間の論理接続詞である双条件文^[1]によって言い換えられる。双条件文は、両方の文が真であるか、両方とも偽であるかのどちらかの2つの場合に真となる。この接続詞は双条件文（物質的等価性の文）^[2]であり、標準的な物質的条件文（「もし～ならば」に等しい、「もし～ならば」）とその逆（「もし～ならば」）を組み合わせたものに例えることができるため、この名前が付けられている。その結果、接続された文のいずれかが真であれば、もう一方の文も真であることが求められる（つまり、両方の文が真であるか、両方とも偽であるかのどちらか）が、このように定義された接続詞が、既存の意味を持つ英語の「if and only if」で適切に表現されるかどうかは議論の余地がある。たとえば、「P if and only if Q」は、 Qが真である場合は常にPも真であり、Pが真となる唯一のケースはQも真である場合であることを意味します。一方、 「P if Q」の場合は、 Pが真でQが偽となる他のシナリオも考えられます。

文章では、P 「もしかつその場合に限り」 Q の代わりとしてよく使われる語句には、QはP にとって必要かつ十分である、P にとって Q が必要かつ十分である、P は Q と同等（または実質的に同等）である（実質的含意と比較）、P は Q と正確に同じ、P は Qと正確に同じ（または厳密に）同じ、P は Q の場合に正確に同じ、P は Q の場合に厳密に同じ、P は Q の場合に厳密に同じなどがあります。^[3]著者によっては、「もしかつその場合に限り」は正式な文章には不適切であると考える人もいます。 ^[4]またある著者は、これを「境界線上のケース」と見なし、その使用を容認しています。^[5]論理式では、これらの語句の代わりに、やなどの論理記号^[6]が使用されます。以下の § 表記法を参照してください。 $\leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$

意味

PQの真理値表は次の通りである: [ ^7]^[8] $\leftrightarrow$

これはXNORゲートによって生成されるものと同等であり、XORゲートによって生成されるものとは逆である。^[9]

使用法

表記

対応する論理記号は「」、「」、「」、 [ ^{6] 、、}^[10]であり、時には「iff」も使用される。これらは通常、同義語として扱われる。しかし、数理論理学のテキスト（特に命題論理ではなく一階述語論理に関するもの）の中には、これらを区別しているものがあり、最初の ↔ は論理式の記号として使用され、 ≡はそれらの論理式についての推論に使用される（たとえば、メタ論理）。Łukasiewiczのポーランド記法では、これは接頭辞記号である。^[11] $\leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\equiv$ $E$

論理接続子、つまり論理式の記号の別名は、排他的論理和です。

TeXでは、「if and only if」は長い二重矢印として表示されます。\iffコマンドまたは\Longleftrightarrowコマンドを使用します。^[12] $\iff$

証明

ほとんどの論理体系では、「P の場合 Q」という形式のステートメントは、「P の場合 Q」および「Q の場合 P」、または「P の場合 Q」および「P でない場合 Q でない」のいずれかを証明することによって証明されます。これらのステートメントのペアを証明すると、双条件文を直接推論できる明らかな条件がないため、より自然な証明につながる場合があります。別の方法としては、選言「(P かつ Q) または (P かつ Q でない)」を証明することです。この選言自体は、その選言のいずれかから直接推論できます。つまり、「iff」は真理関数であるため、P と Q が両方とも真であるか、両方とも偽であることが証明されている場合、「P の場合 Q」が成り立ちます。

iffの由来と発音

略語「iff」の使用は、 1955年にジョン・L・ケリーの著書「一般位相幾何学」で初めて印刷物に登場しました。^[13]この略語の発明者はポール・ハルモスであるとよく言われますが、彼は「私は『if and only if』の略語である『iff』を発明したが、自分が本当に最初の発明者だとは信じられなかった」と書いています。^[14]

「iff」の発音が意図されていたかどうかは、やや不明瞭である。現在の慣習では、「iff」という単一の「単語」は、ほとんどの場合、「if and only if」という4つの単語として読まれる。しかし、一般位相学の序文で、ケリーは「数学的な内容が「if and only if」を必要とし、音韻上それよりも少ないものが求められる場合、私はハルモスの「iff」を使用する」と、別の読み方を提案している。ある離散数学の教科書の著者は、「iffと発音する必要がある場合は、「ff」をしっかりと発音して、人々が「if」との違いを聞き取れるようにする」ことを提案している。これは、 ^{「 iff」が}[ɪfː]と発音できることを示唆している。

定義での使用

慣例的に、定義は「もし～ならば」という文である。ケリーの『一般位相幾何学』などの一部のテキストはこの慣例に従い、新しい用語の定義に「もし～ならば」または「iff」を使用している。 ^[16]しかし、「もし～ならば」というこの用法は比較的珍しく、定義の「もし～ならば」が「もし～ならば」という意味に解釈されるという言語的事実を見落としている。教科書、研究論文、記事（英語版ウィキペディアの記事を含む）の大部分は、数学的定義が含まれる場合は常に「もし～ならば」を「もし～ならば」と解釈するという言語慣例に従っている（「すべての開被覆に有限部分被覆がある場合、位相空間はコンパクトである」など）。^{[17]さらに、}再帰的定義の場合、定義の「もし～ならば」の半分は、述語の定義内の文が述語の外延を決定する 唯一の文であることを述べるメタ言語の文として解釈される。

オイラー図の観点から

AはBの真部分集合です。数値がAに含まれるのは、それがBに含まれる場合のみです。数値がBに含まれるのは、 Aに含まれる場合です。
CはBのサブセットですが、真サブセットではありません。数値がBに含まれるのは、それがCに含まれる場合のみです。また、数値がCに含まれるのは、それがBに含まれる場合のみです。

オイラー図は、イベント、プロパティなどの間の論理的な関係を示します。「P は Q の場合のみ」、「P ならば Q」、「P→Q」はすべて、P がQ の適切なまたは不適切なサブセットであることを意味します。「P は Q の場合のみ」、「Q ならば P」、Q→P はすべて、Q が P の適切なまたは不適切なサブセットであることを意味します。「P は Q の場合のみ」および「Q は P の場合のみ」は、どちらも集合 P と Q が互いに同一であることを意味します。

より一般的な使用法

Iffは論理学の分野以外でも使われます。論理が適用されるところ、特に数学的な議論では、上記と同じ意味を持ちます。つまり、 if and only ifの略語であり、1 つの文が他の文にとって必要かつ十分であることを示します。これは数学の専門用語の例です(ただし、前述のように、定義文では iffよりもifの方がよく使われます)。

Xの要素はすべてYの要素のみであるということは、「談話領域内の任意のzについて、z がY内にある場合のみ、z がX内にある」という意味です。

「if」が「if and only if」を意味する場合

ラッセルとノーヴィグは、著書『人工知能：現代的アプローチ』の中で（282ページ）、^[18]事実上、if and only if を「データベース（または論理プログラミング）セマンティクス」と一緒に表現する方が自然であることが多いと述べています。彼らは、「リチャードにはジェフリーとジョンという2人の兄弟がいる」という英語の文を例に挙げています。

データベースまたはロジックプログラムでは、これは単純に 2 つの文で表すことができます。

兄弟（リチャード、ジェフリー）。

兄弟（リチャード、ジョン）。

データベースセマンティクスは、データベース (またはプログラム) が、特定のドメインでの問題解決に関連するすべての知識のみを含むと解釈します。データベース内の文が、データベースから結論を導き出す際に考慮すべき 唯一の知識を表していることをメタ言語で表現している場合にのみ解釈します。

標準的な意味論による一階述語論理(FOL)では、同じ英語の文を、 if and only if を使用して、only if をオブジェクト言語で解釈して、次のような形式で表現する必要があります。

\forall

X(Brother(Richard, X) の場合、X = Geoffrey または X = John)。

ジェフリー≠ジョン。

FOL の標準セマンティクスと比較すると、データベースセマンティクスはより効率的に実装されています。次の形式の文で推論する代わりに、

結論条件の場合

次の形式の文を使用します。

結論条件

条件から結論へ前向きに推論するか、結論から条件へ後ろ向きに推論すること。

データベースセマンティクスは、法的な原則であるexpressio unius est exclusio alterius (一つのものの明示的な言及は他のすべてを排除する) に類似している。さらに、これは、法的な文章の表現と法的推論への論理プログラミングの応用の基礎となっている。^[19]

参照

参考文献

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外部リンク

「if and only if の真理値表」。2000 年 5 月 5 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
言語ログ: 「念のため」
哲学大学院生のための南カリフォルニア哲学：「念のため」

[1] 「論理接続詞」. sites.millersville.edu . 2023年9月10日閲覧。

[2] Copi, IM; Cohen, C.; Flage, DE (2006). Essentials of Logic (第2版). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. p. 197. ISBN 978-0-13-238034-8。

[3] Weisstein, Eric W. 「Iff」 MathWorld より - Wolfram Web リソース http://mathworld.wolfram.com/Iff.html 2018 年 11 月 13 日にWayback Machineにアーカイブ

[4] 例えばDaepp, Ulrich; Gorkin, Pamela (2011)、「Reading, Writing, and Proving: A Closer Look at Mathematics」、Undergraduate Texts in Mathematics、Springer、p. 52、ISBN 9781441994790これは確かに時間の節約になりますが、正式な文書ではお勧めしません。

[5] ロスウェル、エドワード J.; クラウド、マイケル J. (2014)、エンジニアリングライティングバイデザイン：永続的な価値のある正式な文書の作成、CRC プレス、p. 98、ISBN 9781482234312数学的な文章ではよくあることです

[:2-6] Peil, Timothy. 「Conditionals and Biconditionals」. web.mnstate.edu . 2020年10月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年9月4日閲覧。

[7] <=> q 2016年10月18日にWayback Machineにアーカイブされました。WolframAlpha

[8] かつその場合に限り、UHM 数学部、2000 年 5 月 5 日のオリジナルからアーカイブ、 2016 年10 月 16 日取得、「P かつその場合に限り Q」という形式の定理は、数学で非常に高く評価されています。これらは、いわゆる「必要かつ十分な」条件を与え、まったく同じことを述べる完全に同等で、できれば興味深い新しい方法を提供します。

[9] 「XOR/XNOR/奇数パリティ/偶数パリティゲート」www.cburch.com。 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年10月22日閲覧。

[10] Weisstein, Eric W. 「Equivalent」。mathworld.wolfram.com。2020年10月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年9月4日閲覧。

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[13] 一般位相幾何学、再版ISBN 978-0-387-90125-1

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[15] マウラー、スティーブン B.、ラルストン、アンソニー (2005)。離散アルゴリズム数学(第 3 版)。フロリダ州ボカラトン: CRC プレス。p. 60。ISBN 1568811667。

[16] たとえば、『一般位相幾何学』 p. 25 には、「集合が可算なのは、それが有限であるか可算無限である場合に限る。」とあります。[太字は原文]

[17] クランツ、スティーブン G. (1996)、数学ライティング入門、アメリカ数学会、p. 71、ISBN 978-0-8218-0635-7

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[19] Kowalski, R., Dávila, J., Sartor, G. and Calejo, M., 2023. 法律と教育のための論理的英語。http://www.doc.ic.ac.uk/~rak/papers/Logical%20English%20for%20Law%20and%20Education%20.pdf Prolog: The Next 50 Years (pp. 287-299) に掲載。Cham: Springer Nature Switzerland。