調和共役

数学において、連結な開集合上で定義された実数値関数は 、 が の共役 (関数) を持つとされるのは、それらがそれぞれ複素変数の正則関数の実部と虚部である場合に限ります 。つまり、が 上で正則である場合、 はと共役です。 定義の最初の結果として、これらは両方とも上の調和実数値関数です。さらに、 の共役は、が存在する場合、加法定数を除いて一意です。また、 がと共役である場合に限り、 はと共役です。 ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z:=x+iy\in \Omega 。}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$${\displaystyle \Omega .}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle u,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle -u}$

同様に、がにおいてと共役であるためには、および がにおいてコーシー・リーマン方程式を満たす必要があります。 後者の同等の定義から直接得られる帰結として、 が上の任意の調和関数である場合、関数 がに対してと共役であるとき、コーシー・リーマン方程式は正当であり、混合2次導関数 の対称性は正則です。したがって、調和関数が 共役調和関数を許容するためとは、正則関数がに原始関数を持つ場合のみであり、その場合、 の共役は当然、 になります。したがって、任意の調和関数は、その定義域が で単連結である場合は常に共役関数を許容し、どのような場合でも、その定義域の任意の点で局所的に共役を許容します。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Omega .}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle -u_{y}}$${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle \Delta u=0}$${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}.}$${\displaystyle u}$${\displaystyle g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)}$ ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \オメガ,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \operatorname {Im} f(x+iy).}$

の単連結領域上の調和関数u をその調和共役 vに変換する演算子があります(定数までの共役の不確定性を固定するために、たとえば、与えられたx ₀にv ( x _{0 ) = 0 を置く)。これは、応用分野では (本質的に)}ヒルベルト変換としてよく知られています。また、特異積分演算子と関連した数学的解析の基本的な例でもあります。共役調和関数 (およびそれらの間の変換) は、バックルンド変換(2 つの偏微分方程式と、この場合は線形の変換)の最も簡単な例の 1 つでもあります。より複雑な変換は、ソリトンや積分可能なシステムで重要です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

幾何学的には、 uとv は、基礎となる正則関数のゼロから離れて直交する軌道を持つ関係にあります。つまり、 uとvが一定である輪郭は直角に交差します。この点で、u + iv は複素ポテンシャルとなり、uはポテンシャル関数、vはストリーム関数となります。

例えば、関数$${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$$

であり 、 (はラプラス演算子) を満たす ので調和です。ここで、コーシー・リーマン方程式が満たされるような があるとします。 $${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}$$$${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}$$$${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle v(x,y)}$

$${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$ そして $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}$$

単純化すると、 解く と $${\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$$${\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}$$$${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$$

uとvに関連する関数が交換された場合、コーシー-リーマン方程式のマイナス符号によって関係が非対称になるため、関数は調和共役ではないことに注意してください。

解析関数の等角写像特性（導関数がゼロでない点において）は、調和共役の幾何学的特性を生じさせる。明らかにxの調和共役はyであり、定数xと定数yの直線は​​直交する。等角性とは、定数u ( x , y )とv ( x , y )の輪郭も、交差する場所（ f  ′( z )のゼロから離れる方向）で直交するということである。つまり、v はuによって与えられる輪郭の族に対する直交軌道問題の特定の解である（当然、唯一の解ではない。vの関数もとることができるからである）。この問題は、17世紀の数学にまで遡り、交差しない曲線の族と直角に交わる曲線を見つけるという問題である。

調和共役という用語は数学、より具体的には射影幾何学にも使われます。2 つの点AとB は、複比( ABCD ) が -1 に等しい場合、別の 2 つの点C、Dに関して互いに調和共役であると言われます。

• Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996)。複素変数とその応用（第 6 版）。ニューヨーク: McGraw-Hill。p. 61。ISBN 0-07-912147-0与えられた2つの関数uとvが領域Dで調和関数であり、それらの1次偏微分がD全体でコーシー・リーマン方程式（2）を満たす場合、vはuの調和共役であるという。

• 調和比
• 「共役調和関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]