立体地図投影

平射図法は、平面球図法または方位正角図法とも呼ばれ、古代にまで遡る正角地図投影法です。正射図法や心図法と同様に、平射図法は方位図法であり、球面上にある場合は透視図法でもあります。

楕円体では、立体投影の透視定義は等角ではないため、方位角と等角の特性を維持するために調整を行う必要があります。ユニバーサル極立体座標系では、このような楕円体の実装の 1 つを使用します。

立体図法は、古代エジプト人には極図法として知られていたと思われるが、その発明は、それを最初に使用したギリシャ人であるヒッパルコスによるものとされることが多い。 ^[要出典]その斜図法は、4世紀にギリシャの数学者アレクサンドリアのテオンによって使用され、その赤道図法は、11世紀にアラブの天文学者アル＝ザルカリによって使用された。その最も古い文書による説明は、プトレマイオスの『天球図法』であり、その中では「星座早見図法」と呼ばれている。

立体図法は、1507年にロレーヌのサン・ディエのヴァルター・ラッドが地球表面の立体図法の最初の例を作成するまで、星図にのみ使用されていました。地図作成における立体図法の人気は、ルモルト・メルカトルが1595年の地図帳に赤道面を使用してから高まりました。^[1]その後、17世紀を通じて頻繁に使用され、赤道面は東半球と西半球の地図に使用されました。^[2]

1695年、エドモンド・ハレーは星図への興味から、この地図が等角であることを初めて数学的に証明しました。^[3]彼は友人のアイザック・ニュートンが発明した当時確立された微積分のツールを使用しました。

ステレオ投影の球面形は通常、極座標で表現されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=2R\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\varphi }{2}}\right)\\\theta &=\lambda \end{aligned}}}$

ここで、は球の半径、 とはそれぞれ緯度と経度です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$

球体は、通常、地図上の範囲が両方向の長さで数百キロメートルを超える場合に地球をモデル化するために選択されます。より小さな地域の地図では、より高い精度が必要な場合は楕円体モデルを選択する必要があります。^[1]

極楕円体図法の楕円体形式では、正角緯度が使用されます。楕円体の横投影または斜投影にはさまざまな形式があります。1 つの方法では正角球を介した二重投影が使用されますが、他の方法では使用されません。

横投影や斜投影のステレオ図法の例としては、ミラーオブレートステレオ図法^[4]やルシルエ斜投影図法^[2]などがある。

方位図法として、ステレオ図法は中心点を通過するすべての大円の相対方向を忠実に表します。正角図法として、あらゆる角度を忠実に表します。さらに、球面形状では、ステレオ図法はすべての小円を円としてレンダリングする唯一の地図投影法です。

球面状のステレオ投影は、地図の中心点の反対側の地球上の点に視点が置かれる透視投影に相当します。

の式は に近づくにつれて発散するため、立体投影は無限大となり、（北極を中心とした地図の場合）南極を表示することは不可能となる。しかし、地図の境界が十分に拡張されている限り、南極に任意の近い点を表示することは可能である。^[1]${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$

ゴール図法の緯線は、横方向のステレオ図法の中央子午線上の緯線と同じ間隔で配置されます。

GS50投影は、斜投影を複素平面にマッピングし、その上の点を 10 次多項式で変換すること によって形成されます。

同じ縮尺で、地球半径の投影高度順に並べた、平射図法と北緯 90 度を中心としたいくつかの方位図法の比較。(詳細はクリックしてください)