クレローの定理（重力）

クレローの定理は、重力場と遠心力の作用下で静水圧平衡状態にある粘性回転楕円体の表面重力を特徴づけるものです。これは、地球が扁平楕円体であるという物理的および測地学的証拠を統合した論文^{[ 1 ]}の中で、1743年にアレクシス・クロード・クレローによって発表されました。^{[ 2 ] [ 3 ]}当初は、地球表面上の任意の点の重力をその点の位置に関連付けるために使用され、異なる緯度での重力の測定値から地球の楕円率または扁平率を計算することができました。今日では、ソミリアーナ方程式にほぼ取って代わられています。

地球がほぼ球形であることは古代から知られていたが、17世紀までには、地球が完全な球形ではないという証拠が蓄積されつつあった。1672年、ジャン・リシェは、地球が球形であれば重力は一定になるはずであるが、地球上で重力が一定ではないという最初の証拠を発見した。彼は振り子時計をフランス領ギアナのカイエンヌに持ち込み、パリでの速度と比較して1日に2分半遅れることを発見した。[ 4 ] [ 5 ^{]これは、カイエンヌの} 重力加速度がパリよりも小さいことを示していた。振り子重力計が世界の遠隔地への航海に持ち込まれるようになり、重力は緯度の増加とともに滑らかに増加し、重力加速度は赤道よりも極地で約0.5%大きいことが徐々に発見された。

イギリスの物理学者アイザック・ニュートンは、地球の形状に関する理論と計算の概要を記した著書『プリンキピア・マテマティカ』（1687年）の中で、このことを説明しました。 ^{[ 6 ]}ニュートンは、地球は厳密には球体ではなく、自転による遠心力によって極がわずかに扁平化した扁平楕円体であると正しく理論づけました。彼は幾何学的計算を用いて、地球の仮説上の楕円体形状について具体的な議論を展開しました。^{[ 7 ]}

『プリンキピア』の目的は、自然現象に正確な答えを与えることではなく、科学における未解決の要因に対する潜在的な解決策を理論化することであった。ニュートンは科学者たちに、説明のつかない変数についてさらに深く研究するよう促した。彼に感化された著名な研究者として、アレクシス・クレローとピエール・ルイ・モーペルテュイが挙げられる。彼らは二人とも、地球の形状に関するニュートンの理論の妥当性を証明しようとした。そのため、彼らはラップランドへの探検に出かけ、子午線弧を正確に測定しようと試みた。こうした測定から、地球の離心率、つまり完全な球体からのずれの度合いを計算することができた。

クレローは、地球が楕円体であるというニュートンの理論は正しいが、計算に誤りがあることを確認し、その発見をロンドン王立協会に手紙で送った。 ^{[ 8 ]}協会は翌年の1737年に『フィロソフィカル・トランザクションズ』に記事を掲載した。 ^{[ 9 ]}その中でクレローは（第XVIII節で）ニュートンの第3巻の命題XXは実際の地球には適用されないと指摘した。この命題では、地球のある地点での物体の重さは、地球の中心からの距離と、中心から物体のある地点またはそれより上の地表までの距離の比率にのみ依存するため、地球の中心にある水の柱の総重量は、柱がどの方向に地表まで上昇しても同じになると述べていた。ニュートンは実際には、これは地球内部の物質が均一な密度であるという仮定に基づいていると述べていた（命題XIX）。ニュートンは、地球の密度が均一ではない可能性が高いことに気づき、重力測定で極地と赤道域の差が彼の理論の予測よりも大きいことが分かった理由として、このことを説明として提案した。しかし、彼はまた、これは赤道が彼の理論の予測よりも中心から遠いことを意味するとも考えたが、クレローは、その逆が真実であると指摘している。クレローは記事の冒頭で、ニュートンが地球が他の楕円形ではなく楕円体であると考える理由を説明しなかったが、クレローとジェームズ・スターリングはほぼ同時に、1736年に地球が楕円体であるべき理由を示したと指摘している。

クレローの論文には、彼の主張を裏付ける有効な方程式が示されていなかった。このことが科学界で大きな論争を巻き起こした。クレローが1743年に『地球の形状理論』を著すまで、適切な答えは得られなかった。この中で彼は、今日ではより正式にはクレローの定理として知られる定理を提唱した。

クレローの定理によれば、緯度 φ において静水圧平衡状態にある球体（流体であるか、過去に流体であったか、または表面が海面付近にある）の表面にかかる重力gによる加速度（遠心力の影響を含む）は次のようになります。^{[ 10 ] [ 11 ]}

$${\displaystyle g(\varphi )=G_{e}\left[1+\left({\frac {5}{2}}mf\right)\sin ^{2}\varphi \right]\,,}$$どこ

• ${\displaystyle G_{e}}$赤道における重力加速度の値です。
• ${\displaystyle m}$遠心力と重力の比${\textstyle \omega ^{2}R_{E}(\phi =0)/g(\phi =0)}$赤道では、
• ${\displaystyle f}$地球の経線断面を平坦化すること。定義は以下のとおり。

$${\displaystyle f={\frac {ab}{a}}\,,}$$（ここで、 aは長半径、bは短半径を表す。）

遠心力の寄与はおよそ${\textstyle -G_{e}m\cos ^{2}\varphi ,}$一方、重力自体はおおよそ次のように変化する。${\textstyle G_{e}\left({\frac {3}{2}}mf\right)\sin ^{2}\varphi .}$この式は、表面が重力（遠心力を含む）の方向に垂直である場合に成り立ちます。密度が一定でない場合でも（通常の場合）、この式は成り立ちます。（この場合、重力は形状のみから任意の点で計算でき、${\displaystyle m}$地球のために、${\textstyle m\approx 1/289,}$そして${\textstyle {\frac {5}{2}}m\approx 1/116,}$その間${\textstyle f\approx 1/300,}$それで${\displaystyle g}$極地では赤道よりも大きい（5.3‰、0.43%ニュートン）。^{[ 12 ]}

クレローは、物体が一定密度の同心円状の同軸球状層で構成されているという仮定の下で、この式を導出した。^{[ 13 ]}この研究はその後、ほぼ球形である等密度の表面を仮定したラプラスによって続けられた。 ^{[ 12 ] [ 14 ]}イギリスの数学者ジョージ・ストークスは1849年に^{[ 12 ]}、外部表面が平衡球状である限り、この定理は任意の密度法則に適用できることを示した。^{[ 15 ] [ 16 ]}最近の発展の歴史とgのより詳細な方程式については、カーンを参照のこと。^{[ 17 ]}

上記のgの式は、ソミリアーナ方程式（カルロ・ソミリアーナにちなんで）に置き換えられました。

地球の球形は、重力と地球の自転による遠心力の相互作用の結果である。 ^{[ 18 ] [ 19 ]}ニュートンは『プリンキピア』の中で、均質に回転する地球の平衡形状は扁平率fが 1/230 の回転楕円体であると提唱した。^{[ 20 ] [ 21 ]} その結果、重力は赤道から極に向かって増加する。ラプラスはクレローの定理を適用して、15の重力値からf = 1/330 : g _NP / G _eq − 1 = 5.6‰ を発見した。現代の推定値は 1:298.25642 である。^{[ 22 ]}詳細については、地球の図を参照のこと。

測地学の基準地球モデルの構築に関する詳細な説明については、Chatfield を参照してください。^{[ 23 ]}