チェボタレフの密度定理

代数的整数論におけるチェボタレフの密度定理は、有理数体の与えられたガロア拡大Kにおける素数の分裂を統計的に記述する。一般的に言えば、素整数はKの代数的整数環のいくつかの理想素数に因数分解される。起こり得る分裂のパターンは有限個しかない。一般的なガロア拡大におけるあらゆる素数pの分裂の完全な記述は未解決の大きな問題であるが、チェボタレフの密度定理によれば、大きな整数Nより小さいすべての素数pについて、与えられたパターンの発生頻度はN が無限大に近づくにつれて一定の限界に達する。これはニコライ・チェボタレフが 1922 年の論文で証明し、(Tschebotareff 1926) に掲載された。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

より簡単に述べる特別なケースは、Kがn次のガロア拡大である代数体である場合、 Kで完全に分解する素数の密度は ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

1/いいえ

より一般的には、分割の振る舞いは、（ほぼ）すべての素数に不変量、すなわちそのフロベニウス元を割り当てることによって指定することができる。これは、ガロア群における明確に定義された共役類の代表である。

ギャル（K / Q）。

そして、定理によれば、これらの不変量の漸近分布は群上で一様であり、k個の元を持つ共役類は、

k / n。

カール・フリードリヒ・ガウスが複素整数 Z [ i ]の概念を初めて導入したとき、彼は通常の素数がこの新しい整数の集合にさらに因数分解できることに気づきました。実際、素数pが 1 mod 4 と合同である場合、それは 2 つの異なる素ガウス整数の積に因数分解されるか、または「完全に分割」されます。p が3 mod 4 と合同である場合、それは素数のままであるか、または「不活性」です。そして、pが 2 である場合、それは素数(1+i)の 2 乗と可逆ガウス整数-iの積になります。2 は「分岐する」と言います。たとえば、

${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)}$完全に分割します。

${\displaystyle 3}$不活性である。

${\displaystyle 2=-i(1+i)^{2}}$分岐します。

この説明から、素数が大きくなるにつれて、素数が完全に分裂する頻度は1/2に近づくことがわかります。同様に、Z [ i ]内で素数のままである素数についてもそうです。等差数列に関するディリクレの定理は、これが実際に当てはまることを示しています。素数自体はかなり不規則に現れますが、拡大された素数の分裂は

${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [i]}$

単純な統計法則に従います。

同様の統計法則は、与えられた位数の原始根を付加することによって有理数体から得られる円分拡大における素数の分割にも当てはまります。たとえば、通常の整数素数は、8次の根に対応する整数の環における分割パターンに従って、それぞれ確率 1/4 で 4 つのクラスにグループ化されます。この場合、体拡大は次数 4 でアーベルであり、ガロア群はクラインの 4 元群と同型です。拡大のガロア群が素数の分割パターンで重要な役割を果たすことが判明しました。ゲオルク・フロベニウスはこのパターンを調査するための枠組みを確立し、定理の特殊なケースを証明しました。一般的な記述は、ニコライ・グリゴリエヴィチ・チェボタリョフによって1922 年に 証明されました。

チェボタレフの密度定理は、等差数列に関するディリクレの定理の一般化と見なすことができます。ディリクレの定理の定量的な形式では、N ≥ 2が整数でaがNと互いに素である場合、 Nを法とするaに合同な素数pの比率は1/ nに漸近的であり、n =φ( N ) はオイラーのトーシェント関数であると述べられています。これは、 N番目の円分体Kに対するチェボタレフの密度定理の特殊なケースです。実際、 K / Qのガロア群はアーベル群であり、 N を法とする可逆剰余類の群と標準的に同一視できます。 Nを割り切れない素数pの分割不変量は、p が分割する異なる素数の数がφ( N )/m であるため、単にその剰余類です。ここで、 m は Nを法とするpの乗法位数です。したがって、チェボタレフの密度定理により、素数はNと互いに素である異なる剰余類の間で漸近的に一様に分布します。

Lenstra & Stevenhagen (1996) は、彼らの調査論文で、この分野におけるフロベニウスの以前の結果を示しています。K が有理数体Qのガロア拡大であり、P ( t ) がK がPの分解体となるような単数整数多項式であるとします。Pを素数p を法として因数分解するのは理にかなっています。その「分解型」は、 pを法とするPの既約因数の次数のリストです。つまり、P は素体F _p上で何らかの方法で因数分解されます。 n がPの次数である場合、分解型はnの分割Πです。KのQ上のガロア群Gも考慮すると、 Gの各g はKにおけるPの根の順列です。言い換えると、 α とその代数的共役の順序を選択することで、Gは対称群S _nの部分群として忠実に表現されます。g をそのサイクル表現で表すことができ、これによって「サイクル型」c ( g ) が得られ、これもまたnの分割になります。

フロベニウスの定理によれば、Π の任意の選択に対して、P mod pの分割タイプが Π である素数pは自然密度δ を持ち、δ はG内のgのうちサイクルタイプ Π を持つものの割合に等しいとされます。

より一般的なチェボタレフの定理は、素数（イデアル）のフロベニウス元に関して述べられており、これは実際にはガロア群Gの元の共役類 C である。C を固定すると、定理は、漸近的に素数の割合 | C |/| G | がCとして関連するフロベニウス元を持つと述べている。Gがアーベル群の場合、クラスのサイズはそれぞれ 1 である。 6 次非アーベル群の場合、クラスはサイズが 1、2、3 であり、それに応じて（たとえば）素数pの 50% がフロベニウスとして 2 次元を持つ。 したがって、これらの素数は留数次数 2 であるため、ガロア群としてQの 6 次拡大で正確に 3 つの素イデアルに分割される。^[1]

L をガロア群Gを持つ数体Kの有限ガロア拡大とする。Xを共役に関して安定なGの部分集合とする。Lで不分岐であり、関連するフロベニウス共役類F _vがXに含まれるKの素数vの集合は、密度

${\displaystyle {\frac {\#X}{\#G}}.}$^[2]

この記述は、密度が素数集合の自然密度または解析密度のいずれかを指す場合に有効である。^[3]

一般化リーマン予想は、チェボタレフの密度定理の有効なバージョン[4]を意味します。L / K がガロア群 G を持つ有限ガロア拡大であり、C が G の共役類の和集合である場合、^Cのフロベニウス共役類を持つxより下のノルムのKの非分岐素数の数は

${\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},}$

ここで、big-O 表記法で暗示される定数は絶対値であり、n はQ上のLの次数、Δ はその判別式です。

チェボタレフの密度理論の有効形式は、GRH なしでははるかに弱くなります。Lを、ガロア群Gと次数d を持つQの有限ガロア拡大とします。を次数nのGの非自明な既約表現とします。をこの表現のアルティン導体とします。またはの部分表現に対して、が完全であると仮定します。つまり、アルティン予想はすべての に対して満たされます。を に関連付けられた指標とします。すると、に対して、 となる絶対正値が存在し、 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\rho )}$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle \rho \otimes \rho }$${\displaystyle \rho \otimes {\bar {\rho }}}$${\displaystyle L(\rho _{0},s)}$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle c}$${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle \sum _{p\leq x,p\not \mid {\mathfrak {f}}(\rho )}\chi _{\rho }({\text{Fr}}_{p})\log p=rx+O{\biggl (}{\frac {x^{\beta }}{\beta }}+x\exp {\biggl (}{\frac {-c(dn)^{-4}\log x}{3\log {\mathfrak {f}}(\rho )+{\sqrt {\log x}}}}{\biggr )}(dn\log(x{\mathfrak {f}}(\rho )){\biggr )},}$

ここで、が自明な場合は 1 で、そうでない場合は 0 であり、 は の例外的な実数零点である。そのような零点が存在しない場合は、項を無視できる。この式の暗黙の定数は絶対的である。^[5]${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle L(\rho ,s)}$${\displaystyle x^{\beta }/\beta }$

チェボタレフの密度定理の記述は、Kの素数の有限集合Sの外側で非分岐な無限ガロア拡大L / Kの場合に一般化できる（つまり、 Kの素数の有限集合Sがあり、 Sに含まれないKの素数はすべて拡大L / Kで非分岐である）。この場合、L / Kのガロア群G は、クルル位相を備えたプロ有限群である。この位相ではG はコンパクトであるため、 G上には一意のハール測度 μ が存在する。 Sに含まれないKの素数vごとに、関連するフロベニウス共役類F _vが存在する。この状況でのチェボタレフの密度定理は、次のように述べることができる：^[2]

Xを共役に関して安定で境界がハール測度ゼロであるGの部分集合とする。すると、 Sに属さないKの素数vの集合でF _v ⊆ Xの密度が

${\displaystyle {\frac {\mu (X)}{\mu (G)}}.}$

これは、 L / Kが有限である場合に有限のケースに帰着します(その場合、ハール測度は単なる計数測度になります)。

この定理のバージョンの帰結は、Lの非分岐素数のフロベニウス元がGにおいて稠密であるということです。

チェボタレフの密度定理は、数体のガロア拡大を分類する問題を、拡大における素数の分裂を記述する問題に還元する。具体的には、Kのガロア拡大として、L はKの素数集合によって一意に決定されるが、その集合は L 内で完全に分裂することを意味する。^{[6]関連する帰結として、} Kのほぼすべての素イデアルがL内で完全に分裂する場合、実際にはL = K となる。^[7]

• ガロア拡大における素イデアルの分割
• グロタンディーク・カッツの p-曲率予想

• Lenstra, HW; Stevenhagen, P. (1996)、「Chebotarëv と密度定理」(PDF)、The Mathematical Intelligencer、18 (2): 26–37、CiteSeerX  10.1.1.116.9409、doi :10.1007/BF03027290、MR  1395088

• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• セール、ジャン＝ピエール（1998）[1968]、アーベルl進表現と楕円曲線（1968年初版の改訂版）、ウェルズリー、マサチューセッツ州：AKピーターズ社、ISBN 1-56881-077-6、MR  1484415
• Tschebotareff, N. (1926)、「Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen、welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehören」、Mathematische Annalen、95 (1): 191–228、doi :10.1007/BF01206606