キャンベルの定理（確率論）

確率論と統計学において、キャンベルの定理またはキャンベル・ハーディの定理は、点過程の平均値を含む積分に関数を合計した期待値に関連する特定の方程式または結果のセットであり、ランダムな合計の期待値と分散を計算することができます。定理の 1 つのバージョン^{[ 1 ]}は、キャンベルの公式^{[ 2 ]}としても知られており、^{28 は、}ポアソン点過程ではなく、一般的な点過程上の前述の合計に対する積分方程式を伴います。 ^{[ 2 ]}また、モーメント測度と階乗モーメント測度を含む方程式も存在し 、これらはキャンベルの公式のバージョンとみなされます。これらの結果はすべて、確率論と統計学で使用され、特に点過程の理論^{[ 3 ]}と待ち行列理論^{[ 4 ]} および関連分野である確率幾何学^{[ 1 ]}、連続体パーコレーション理論^{[ 5 ]}および空間統計学において重要です。^{[ 2 ] [ 6 ]}

キャンベルの定理^{[ 7 ]}と呼ばれる別の結果は、特にポアソン点過程に関するものであり、ポアソン点過程のモーメントとラプラス汎関数を計算する方法を提供する。

両方の定理の名前は、真空管内の熱電子雑音（ショット雑音とも呼ばれる）に関するノーマン・R・キャンベルの研究^{[ 8 ] [ 9 ]}に由来し^{[ 3 ] [ 10 ]}、これはアルファ粒子検出に関するアーネスト・ラザフォードとハンス・ガイガー の研究に部分的に触発されたもので、ポアソン点過程はハリー・ベイトマンによる微分方程式の族の解として現れた^{[ 10 ]}。 キャンベルの研究では、実数直線上のポアソン過程のランダム和のモーメントと母関数を示しているが、主な数学的議論はGHハーディによるものであり、その結果がキャンベル・ハーディの定理と呼ばれることもあると述べている^{[ 10 ] [ 11 ]}。

点過程の場合${\displaystyle N}$d次元ユークリッド空間上で定義される${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$、^{[ a ]}キャンベルの定理は、実数値関数の期待値を計算する方法を提供する。${\displaystyle f}$ また定義も${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$そして合計すると${\displaystyle N}$すなわち：

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right],}$

どこ${\displaystyle E}$は期待値を表し、集合表記法は次のように使用されます。${\displaystyle N}$はランダム集合とみなされます（点過程表記を参照）。 ${\displaystyle N}$キャンベルの定理は、上記の期待値を強度尺度と関連付けている。${\displaystyle \Lambda }$ボレル集合Bに関して、強度尺度は${\displaystyle N}$は次のように定義されます。

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

ここで、測定表記法は次のように使用される。${\displaystyle N}$ランダムな計数尺度とみなされる。${\displaystyle \Lambda (B)}$点過程の平均点数として解釈できる${\displaystyle N}$セットBに位置する。

一般的な（必ずしも単純ではない）点過程に対するキャンベルの定理の1つのバージョン${\displaystyle N}$強度測定付き：

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

これはキャンベルの公式^{[ 2 ]}またはキャンベルの定理^{[ 1 ] [ 12 ] [ 13 ]}として知られており、可測関数の和の期待値を計算する方法を提供する。${\displaystyle f}$実数直線上の範囲を持つ。より具体的には、点過程の場合${\displaystyle N}$そして測定可能な関数${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$合計${\displaystyle f}$点過程における以下の式は、次の式で与えられる。

${\displaystyle E\left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

ここで、方程式の一方の辺が有限であれば、もう一方の辺も有限である。^{[ 14 ]}この方程式は本質的にフビニの定理^{[ 1 ]}の応用であり、単純なものか否かを問わず、幅広いクラスの点過程に対して成り立つ。^{[ 2 ]}積分表記によっては、^{[ b ]}この積分は次のように書くこともできる。^{[ 14 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d\Lambda ,}$

強度測定${\displaystyle \Lambda }$点過程の${\displaystyle N}$密度を持つ${\displaystyle \lambda (x)}$すると、キャンベルの公式は次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\lambda (x)\,dx}$

キャンベルの定理は、一般的な点過程において、ある点（点過程）の関数をその点過程のすべての点について合計した期待値を計算する方法を提供する。点過程におけるこのようなランダムな合計は、数学モデルとして用いられる多くの分野で応用されている。

一般的な点過程の場合、ランダムな和の性質、特に点過程上で和をとる関数に応じて、キャンベルの定理のより一般的なバージョンが存在する。

キャンベルの定理の別のバージョン^{[ 7 ]}は、ポアソン点過程の場合、${\displaystyle N}$強度測定付き${\displaystyle \Lambda }$そして測定可能な関数${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$ランダムな合計

${\displaystyle S=\sum _{x\in N}f(x)}$

が確率 1で絶対収束するのは、積分が

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}\min(|f(x)|,1)\Lambda (dx)<\infty .}$

この積分が有限である場合、定理はさらに、任意の複素数値に対して次のことを主張する。${\displaystyle \theta }$方程式

${\displaystyle E(e^{\theta S})=\exp \left(\int _{{\textbf {R}}^{d}}[e^{\theta f(x)}-1]\Lambda (dx)\right),}$

右辺の積分が収束する場合に成り立つ。これは純虚数の場合に当てはまる。${\displaystyle \theta }$。 さらに、

${\displaystyle E(S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

そしてこの積分が収束すれば、

${\displaystyle \operatorname {Var} (S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)^{2}\Lambda (dx),}$

どこ${\displaystyle {\text{Var}}(S)}$ランダム和の分散を表す${\displaystyle S}$。

この定理から、ポアソン点過程の期待値に関するいくつかの結果が導かれ、その ラプラス関数も含まれる。^{[ 7 ] [ c ]}