継続法

バナッハ空間の数学では、連続性の方法は、ある有界線型演算子の可逆性を別の関連する演算子の可逆性から演繹するための十分な条件を提供します。

B をバナッハ空間、V をノルムベクトル空間、BからVへの有界線型作用素のノルム連続族とする。任意のおよび任意のに対して、正の定数C が存在すると仮定する。${\displaystyle (L_{t})_{t\in [0,1]}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle x\in B}$

${\displaystyle ||x||_{B}\leq C||L_{t}(x)||_{V}.}$

が射影的である場合、またその場合に限り、も射影的です。 ${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle L_{1}}$

連続法は、事前推定と組み合わせて、楕円型 偏微分方程式の適切な正則解の存在を証明するために使用されます。

が射影的であると仮定し、も射影的であることを示します。 ${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle L_{1}}$

区間 [0,1] を細分すると、 と仮定できます。さらに、 の射影性は、 V がBに同型であり、したがってバナッハ空間であることを意味します。 この仮説は、 が閉じた部分空間であることを意味します。 ${\displaystyle ||L_{0}-L_{1}||\leq 1/(3C)}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle L_{1}(B)\subseteq V}$

が適切な部分空間であると仮定する。リースの補題は、かつとなるようなが存在することを示す。ここで、および に対して、仮定により となる。したがって、 ${\displaystyle L_{1}(B)\subseteq V}$${\displaystyle y\in V}$${\displaystyle ||y||_{V}\leq 1}$${\displaystyle \mathrm {dist} (y,L_{1}(B))>2/3}$${\displaystyle y=L_{0}(x)}$${\displaystyle x\in B}$${\displaystyle ||x||_{B}\leq C||y||_{V}}$

${\displaystyle ||y-L_{1}(x)||_{V}=||(L_{0}-L_{1})(x)||_{V}\leq ||L_{0}-L_{1}||||x||_{B}\leq 1/3,}$

これは矛盾している。 ${\displaystyle L_{1}(x)\in L_{1}(B)}$

• シャウダーの推定

• ギルバーグ、D.;トルディンガー、ニール(1983)、楕円型2次偏微分方程式、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 3-540-41160-7