斜投影

斜投影は、三次元（3D）物体の二次元（2D）画像を生成するために使用される、単純なタイプの技術図面の投影法です。

これらの物体は遠近法に基づいて描かれていないため、実際に得られる物体の視点とは一致しないが、この手法はある程度説得力があり、有用な結果をもたらす。

斜投影法は、製図において一般的に用いられる。キャバリエ投影法は、18世紀のフランスの軍事画家たちが要塞を描写するために用いた。

斜投影法は、1世紀または2世紀から18世紀にかけて中国の芸術家によってほぼ普遍的に使用され、特に家屋などの直線的な物体を描写するために用いられた。^{[ 1 ]}

コンピュータグラフィックスでは、コンピュータ支援設計（CAD）、コンピュータゲーム、コンピュータ生成アニメーション、映画で使用される特殊効果など、さまざまなグラフィック投影技術が利用できる。

斜投影は平行投影の一種である。

• 平行光線（プロジェクター）を交差させることで画像を投影する。
• 描画面（投影面）を持つ三次元ソースオブジェクトから。

斜投影と正投影のどちらにおいても、光源となる物体の平行線は、投影画像にも平行線として現れます。斜投影では、投影面と斜めの角度で投影線が交わることで投影画像が生成されますが、正投影では垂直な角度で交わります。

数学的には、点の平行投影は${\displaystyle (x,y,z)}$で${\displaystyle xy}$-plane は${\displaystyle (x+az,y+bz,0)}$定数${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$平行投影を一意に指定します。${\displaystyle a=b=0}$正投影の場合、その投影は「正射影」または「直交」と呼ばれます。そうでない場合は、「斜投影」と呼ばれます。定数${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は必ずしも1より小さいとは限らず、その結果、斜投影で測定された長さは、空間における長さよりも長くなる場合も短くなる場合もあります。一般的な斜投影では、空間の球は、直交投影で見えるような円ではなく、描画平面上に楕円として投影されます。

斜視図では、軸間の角度や短縮率（縮尺）は任意である。より正確には、同一点から始まる同一平面上の任意の3つの線分は、立方体の3つの面の斜視図として解釈できる。この結果は、19世紀初頭に発表したドイツの数学者ポールケにちなんでポールケの定理として知られている。 ^{[ 2 ]}

結果として生じる歪みのため、この手法は正式な作業図面には適していません。しかしながら、画像の1つの平面を投影面と平行に揃えることで、歪みは部分的に克服されます。そうすることで、選択した平面の真の形状の画像が作成されます。この特定のカテゴリの斜投影では、方向に沿った長さが${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は保存されるが、方向に沿った長さは${\displaystyle z}$縮尺係数を用いて斜めに描画する方法は、工業図面で広く用いられています。

• キャバリエ投影とは、長さが${\displaystyle z}$軸はスケーリングされません。^{[ 3 ]}
• 家具のイラストでよく見られるキャビネット投影法は、このような技法の一例であり、後退軸は半分のサイズに縮尺されます^{[ 3 ]}（場合によっては元のサイズの3分の2に縮尺されます）。^{[ 4 ]}

キャバリエ投影（キャバリエ透視図法または高視点投影法とも呼ばれる）では、物体の点はx、y、zの 3 つの座標で表されます。図面上では、 x″とy″の 2 つの座標で表されます。平面図では、図上のx 軸とz軸は垂直で、これらの軸の長さは 1:1 の縮尺で描かれます。したがって、これは二等分投影に似ていますが、3 番目の軸 (ここではy ) が対角線上に描かれ、 x″軸と任意の角度 (通常 30° または 45°) をなすため、軸測投影ではありません。3 番目の軸の長さは縮尺されません。^{[ 5 ] [ 6 ]}

ペンと紙を使えば、とても簡単に描ける。そのため、黒板（授業、口頭試験など）に図を描く必要がある場合によく用いられる。

この表現は当初、軍事要塞に使用されていました。フランス語で「cavalier」（文字通り「騎手」「馬乗り」、騎兵を参照）は、城壁の後ろにある人工の丘で、城壁の上から敵を視認できるようにするものです。^{[ 7 ]} cavalier の視点とは、この高所から物事を見る方法のことです。騎手が馬の上から地面の小さな物体を見ることができる方法であったことから、この名前が付けられたと説明する人もいます。^{[ 8 ]}

キャビネット投影という用語は、家具業界のイラストでの使用に由来します。^{[ 9 ]}キャバリエ投影と同様に、投影されたオブジェクトの1つの面は視平面と平行であり、3番目の軸は角度をつけて投影されます（通常はatan(2)または約63.4°）。3番目の軸の長さが維持されるキャバリエ投影とは異なり、キャビネット投影では後退線の長さが半分になります。

軍事投影では、 x軸とz軸、y軸とz軸の角度は45°であり、これはx軸とy軸の間の角度が90°であることを意味します。つまり、xy平面は歪んでいません。ただし、45°回転しています。^{[ 10 ]}

技術図面やイラストの他に、ビデオゲーム（特に3Dゲームが登場する以前のもの）でも、斜投影の一種がよく用いられています。例としては、『SimCity』、『Ultima VII』、『Ultima Online』、『EarthBound』、『Paperboy』、そして最近では『Tibia』などが挙げられます。

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  左側の図は正投影図です。右側の図は、30 °の角度と1/2の比率を持つ斜投影図です。
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  キャビネット投影図で描かれた植え替え作業台。角度は45°、比率は2/3。
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  騎兵視点から見た要塞の断片（百科事典第1巻、1728年）。
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  座標を使って、キャバリエ視点上に点を配置する方法。
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  軍事的な遠近法で描かれた石造りのアーチ。
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  キャビネットの透視図法で描かれた石造りのアーチ。
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  景福宮の東に位置する昌徳宮と昌慶宮という二つの王宮を描いた、韓国を代表する絵画。
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  役所の入口と中庭。乾隆帝の命により徐陽が描いた蘇州に関する巻物の詳細。18世紀
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  18世紀に軍事投影法で描かれたポール・ロワイヤル・デ・シャンの都市計画図
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  ビデオゲーム「シムシティ」では、軍事投影の変形版が使用されている。

• 空間斜投影メルカトル図法
• 斜メルカトル図法
• 吉田初三郎
• 美術技法一覧

• フォーリー、ジェームズ（1997）。コンピュータグラフィックス。ボストン：アディソン・ウェスリー。ISBN 0-201-84840-6。
• Ingrid Carlbom、Joseph Paciorek、「平面幾何投影とビュー変換」、ACM Computing Surveys、第10巻、第4号、465～502ページ 、1978年12月
• Alpha et al. 1988、「斜視図アトラス：世界の特定地域の地形描写集」（米国地質調査所）

• Illustrator Draftsman 3 & 2 – Volume 2 Standard Practices and Theory、68ページ（ https://web.archive.org/web/20100822152816/http://www.tpub.com:80/より）