一定の代替弾性

一定の代替弾力性（CES ）は、新古典派経済学における多くの生産関数および効用関数の一般的な仕様です。CESは、同じ生産水準を維持するために、ある投入要素を別の投入要素（例えば労働を資本に）で代替する能力が、異なる生産水準においても一定であることを示します。効用関数においては、CESは、消費者が効用水準を維持しながら、異なる財（例えば労働を消費に）をどのように代替したいかという選好が、あらゆる効用水準において一定であることを意味します。これは、生産者と消費者の両方が、生産量や効用水準に関わらず、同様の投入構造と選好を持っていることを意味します。

この指標の重要な経済的要素は、生産者に対して、例えばより多くの労働力を必要とする生産様式間など、異なる生産様式や生産形態間をどのように移行すればよいかを明確に示す点にある。このテーマには複数の経済学者が関わっており、定数の最終的な発見に貢献している。その中には、トム・マッケンジー、ジョン・ヒックス、ジョーン・ロビンソンなどが含まれる。

具体的には、これは2種類以上の消費財、または2種類以上の生産投入要素を総量にまとめる特定の集計関数において生じる。この集計関数は、一定の代替弾力性を示す。

代替可能な生産要素は複数あるが、最も一般的なのは代替弾力性の形態である。直接的な実証的評価を制限するのとは対照的に、定数代替弾力性は使いやすく、そのため広く使用されている。^{[ 1 ]} McFaddenは次のように述べている。

一定のES仮定は生産可能性の形式に対する制約であり、この性質を持つ生産関数のクラスを特徴付けることができる。これは、2要素生産の場合についてArrow-Chenery-Minhas-Solowによって行われた。^{[ 1 ]}

CES生産関数は、一定の代替弾力性を示す新古典派生産関数です。言い換えれば、生産技術は、限界技術的代替率のパーセント変化により、要素（労働と資本など）の割合が一定の割合で変化します。Solow [ 2 ]によって導入さ^れ、後にArrow、Chenery、Minhas、Solowによって普及した2要素（資本、労働）CES生産関数は次の^とおりです。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle Q=F\cdot \left(a\cdot K^{\rho }+(1-a)\cdot L^{\rho }\right)^{\frac {\upsilon }{\rho }}}$

どこ

• ${\displaystyle Q}$＝生産量
• ${\displaystyle F}$=全要素生産性
• ${\displaystyle a}$= パラメータを共有する
• ${\displaystyle K}$、${\displaystyle L}$= 一次生産要素（資本と労働）の量

KとL間の技術代替率を計算する：

${\displaystyle RTS_{L,K}={\frac {F({{\frac {\upsilon }{\rho }}-1})\cdot \left(a\cdot K^{\rho }+(1-a)\cdot L^{\rho }\right)^{{\frac {\upsilon }{\rho }}-1}\cdot a\cdot \rho \cdot L^{\rho -1}}{F({{\frac {\upsilon }{\rho }}-1})\cdot \left(a\cdot K^{\rho }+(1-a)\cdot L^{\rho }\right)^{{\frac {\upsilon }{\rho }}-1}\cdot a\cdot \rho \cdot K^{\rho -1}}}=({\frac {L}{K}})^{\rho -1}}$

次に、代替弾力性を導出します。

$\displaystyle {\frac {K}{L}}=RTS_{L,K}^{\tfrac {1}{1-\rho }}\Rightarrow ln({\frac {K}{L}})={\tfrac {1}{1-\rho }}ln(RTS_{L,K})}$

${\displaystyle {\frac {dln({\frac {K}{L}})}{dln(RTS_{L,K})}}={\frac {1}{1-\rho }}}$

• ${\displaystyle \rho }$=${\displaystyle {\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$= 置換パラメータ
• ${\displaystyle \sigma }$=${\displaystyle {\frac {1}{1-\rho }}}$＝代替弾力性
• ${\displaystyle \upsilon }$= 生産関数の均質性の度合い。${\displaystyle \upsilon }$= 1 (規模に対する収穫一定)、${\displaystyle \upsilon }$< 1 (規模の収穫逓減)、${\displaystyle \upsilon }$> 1 (規模の経済)。

その名前が示すように、CES生産関数は資本と労働の間の代替弾力性が一定であることを示します。レオンチェフ関数、線形関数、コブ・ダグラス関数は、CES生産関数の特殊なケースです。つまり、

• もし${\displaystyle \rho }$1に近づくと、線形または完全代替関数になります。
• もし${\displaystyle \rho }$極限でゼロに近づくと、コブ・ダグラス生産関数が得られます。
• もし${\displaystyle \rho }$負の無限大に近づくと、レオンチェフ生産関数または完全補完生産関数が得られます。

n個の入力を持つCES生産関数の一般形は次のとおりです。 ^{[ 7 ]}

${\displaystyle Q=F\cdot \left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{r}\ \right]^{\​​frac {1}{r}}}$

どこ

• ${\displaystyle Q}$＝生産量
• ${\displaystyle F}$＝全要素生産性
• ${\displaystyle a_{i}}$= 入力 i の共有パラメータ、${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1}$
• ${\displaystyle X_{i}}$= 生産要素の量 (i = 1,2...n)
• ${\displaystyle s={\frac {1}{1-r}}}$＝代替弾力性。

CES (Solow) 関数形式を拡張して複数の生産要素に対応させると、いくつかの問題が生じます。しかし、これを行うための完全に一般的な方法はありません。宇沢は、n 要素生産関数 (n>2) で、部分的な代替弾力性が一定であるのは、要素のペア間のすべての弾力性が同一であるか、異なる場合は、それらすべてが互いに等しく、残りのすべての弾力性が 1 でなければならないことだけであることを示しました。^{[ 8 ]} これは、どの生産関数にも当てはまります。つまり、2 要素を超える要素に CES 関数形式を使用すると、一般的にすべての要素間で一定の代替弾力性がないことを意味します。

入れ子構造のCES関数は、部分均衡モデル や一般均衡モデルでよく見られる。異なる入れ子構造（レベル）を用いることで、適切な代替弾力性を導入することができる。

同じ CES 関数形式は、消費者理論における効用関数としても現れる。例えば、存在する場合${\displaystyle n}$消費財の種類${\displaystyle x_{i}}$総消費${\displaystyle X}$CESアグリゲーターを使用して定義できます。

${\displaystyle X=\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{s}}x_{i}^{\frac {s-1}{s}}\ \right]^{\​​frac {s}{s-1}}.}$

ここでもまた、係数は${\displaystyle a_{i}}$は共有パラメータであり、${\displaystyle s}$は代替弾力性です。したがって、消費財は${\displaystyle x_{i}}$完璧な代替品です${\displaystyle s}$無限大に近づき、完全補数となるとき${\displaystyle s}$ゼロに近づく。${\displaystyle s}$1 に近づく場合、再びロピタルの定理が適用される極限ケースとなります。CES アグリゲーターは、アーミントン(1969)によって議論されたアーミントン アグリゲーターとも呼ばれます。^{[ 9 ]}

CES効用関数は、同次選好の特殊なケースである。

以下は、2つの財に対するCES効用関数の例です。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$均等に分配される：^{[ 10 ]： 112}

${\displaystyle u(x,y)=(x^{r}+y^{r})^{1/r}.}$

この場合の支出関数は次のとおりです。

${\displaystyle e(p_{x},p_{y},u)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(r-1)/r}\cdot u.}$

間接効用関数は、その逆関数である。

${\displaystyle v(p_{x},p_{y},I)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(1-r)/r}\cdot I.}$

需要関数は以下のとおりです。

${\displaystyle x(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{x}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I,}$

${\displaystyle y(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{y}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I.}$

CES効用関数は、DixitとStiglitz （1977）が独占的競争の文脈における最適な製品多様性の研究で検討したケースの1つである。^{[ 11 ]}

CES効用と等弾性効用の違いに注意してください。CES効用関数は、確実な消費財バンドルに対する選好を表す順序効用関数であるのに対し、等弾性効用関数は、宝くじに対する選好を表す基数効用関数です。CES間接（双対）効用関数は、カテゴリー需要が多カテゴリーのCES間接（双対）効用関数によって内生的に決定される効用整合的なブランド需要システムを導出するために使用されてきました。また、CES選好は自己双対であり、原始的および双対的なCES選好の両方が、任意の程度の凸性を示す可能性のある無差別曲線のシステムを生み出すことも示されています。^{[ 12 ]}

• CES型生産関数の3D構造
• N次元CES技術を持つ企業に対する閉形式解

1. ~:text=独占企業の利益は、競争市場では実現可能である。独占企業の収益関数]