バッキンガムのπ定理

工学、応用数学、物理学において、バッキンガムのπ定理は次元解析の重要な定理です。これは、レイリーの次元解析法を形式化したものです。簡単に言えば、この定理は、ある数nの物理変数を含む物理的に意味のある方程式がある場合、元の方程式は元の変数から構築されたp  =  n  −  kの無次元パラメータπ ₁、π ₂、...、π _pのセットで書き直すことができる、というものです。ここで、k は含まれる物理次元の数であり、特定の行列の階数として得られます。

この定理は、方程式の形式がまだ不明であっても、 与えられた変数から無次元パラメータのセットを計算する方法、つまり無次元化を提供します。

バッキンガムのπ定理は、物理法則の妥当性は特定の単位系に依存しないことを示しています。この定理の記述は、あらゆる物理法則は、法則によって結び付けられた変数の無次元の組み合わせ（比率または積）のみを含む恒等式として表現できるというものです（たとえば、圧力と体積はボイルの法則によって結び付けられており、それらは反比例します）。無次元の組み合わせの値が単位系によって変わる場合、方程式は恒等式ではなくなり、定理は成立しません。

エドガー・バッキンガムにちなんで名付けられたπ定理は、1878年にフランスの数学者ジョセフ・ベルトランによって初めて証明されました。 ^[1]ベルトランは電気力学と熱伝導の問題の特殊なケースのみを検討しましたが、彼の論文には、定理の現代の証明の基本的な考え方がすべて明確な言葉で含まれており、物理現象をモデル化するための定理の有用性を明確に示しています。定理を使用する手法（「次元法」）は、レイリーの著作により広く知られるようになりました。一般的なケース^{[注1]でのパイプの圧力降下が支配パラメータに依存するという}π定理の最初の適用は、おそらく1892年にまで遡り、^[2]級数展開を使用した発見的証明は1894年にまで遡ります。^[3]

π定理の任意の個数の場合の正式な一般化は、1892年にA. Vaschy  [fr]によって最初に示され、 ^{[4] [5]、}その後1911年にA. Federman ^[6]とD. Riabouchinsky ^[7]の両者によって（明らかに独立して）示され、 1914年にBuckingham ^[8]によって再び示されました。無次元変数（またはパラメータ）に記号「」の使用を導入したのはBuckinghamの論文であり、これが定理の名前の由来です。 ${\displaystyle \pi_{i}}$

より正式には、形成できる無次元項の数は次元行列のヌル度に等しく、階数は です。実験目的では、これらの無次元数に関して同じ記述を共有する異なるシステムは同等です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$

数学的に言えば、のような物理的に意味のある方程式があり 、サイズ の最大の次元独立サブセットがある場合、^{[注 2]}上記の方程式は と言い換えることができます。ここで 、 はという形式の 無次元方程式、いわゆるパイ群によってから構築された無次元パラメータであり 、 指数は有理数です。(をすべての分母をクリアする累乗として再定義することで、常に整数として扱うことができます。)基本単位が関係している場合は です。 $${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,}$$${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,}$$${\displaystyle \pi _{1},\ldots ,\pi _{p}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p=nk}$$${\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},}$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \pi_{i}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle p\geq n-\ell }$

バッキンガムのπ定理は、方程式の形式が不明な場合でも、与えられた変数から無次元パラメータのセットを計算する方法を提供します。ただし、無次元パラメータの選択は一意ではありません。バッキンガムの定理は、無次元パラメータのセットを生成する方法を提供するだけで、最も「物理的に意味のある」方法を示すものではありません。

これらのパラメータが一致する 2 つのシステムは相似と呼ばれます(相似三角形の場合と同様に、スケールのみが異なります)。これらは方程式の目的上同等であり、方程式の形を決定したい実験者は最も便利なものを選択できます。最も重要なのは、バッキンガムの定理が変数の数と基本次元の関係を説明していることです。

簡単にするために、基本物理単位と導出物理単位の空間は実数上のベクトル空間を形成し、基本単位は基底ベクトル、物理単位の乗算は「ベクトル加算」演算、累乗は「スカラー乗算」演算であると仮定します。次元変数を基本単位に必要な指数のセットとして表します (特定の基本単位が存在しない場合は、累乗は 0 になります)。たとえば、標準重力は単位が(長さ/時間の 2 乗) であるため、基本単位の基底 (長さ、時間) に関するベクトルとして表されます。基本単位の指数が有理数であることを要求し、それに応じて証明を変更することもできます。その場合、π グループの指数は常に有理数または整数として取ることができます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathsf {L}}/{\mathsf {T}}^{2}={\mathsf {L}}^{1}{\mathsf {T}}^{-2}}$${\displaystyle (1,-2)}$

量 があり、 の単位が長さの 乗であるとします。長さを最初にメートルで測定し、後でセンチメートルに切り替えた場合、 の数値はの係数で再スケールされます。物理的に意味のある法則は、あらゆる基本単位を任意に再スケールしても不変である必要があります。これが、円周率の定理が依存する事実です。 ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle 100^{c_{i}}}$

基本（基底）次元の次元変数のシステムを考えると、次元行列は行が基本次元に対応し、列が変数の次元に対応する行列です。番目の要素（ここで、および）は、 番目の変数の 番目の基本次元の累乗です。この行列は、変数量の組み合わせを取り、その組み合わせの次元を基本次元で表すものとして解釈できます。したがって、乗算から得られる（列）ベクトルは、 基本的な独立した（基底）単位 で の単位で構成されます 。^{[注 3]}${\displaystyle n}$${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell \times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$${\displaystyle 1\leq j\leq n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \ell \times 1}$$${\displaystyle M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}}$$${\displaystyle \ell }$

番目の基本単位を 倍してスケールを変更すると、 は倍してスケールが変更されます。ここで、 は次元行列の 番目の要素です。これを線形代数の問題に変換するには、対数（底は無関係）をとり、 が得られます。これはの への作用です。が のとき、物理システムで許容される値のセットであるような任意の関数を物理法則と定義します。さらに、 がこの作用に対して不変である必要があります。したがって、関数 になります。残っているのは、π 群の（対数）空間であるとの間に同型性を示すことだけです。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle q_{j}}$${\displaystyle \alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}}$${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle (i,j)}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle (\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})}$

列が の基底となる行列を構築します。これはを の核としてに埋め込む方法を示しています。つまり、正確なシーケンスが得られます。${\displaystyle n\times p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ker {M}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.}$

転置すると別の正確なシーケンスが得られる

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.}$

最初の同型定理は、剰余類 を に送る目的の同型を生成します。これは、タプルを の列からのpi グループに書き換えることに対応します。 ${\displaystyle v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }}$${\displaystyle K^{\operatorname {T} }v}$${\displaystyle (\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})}$${\displaystyle (\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})}$${\displaystyle K}$

国際単位系では、アンペア、ケルビン、秒、メートル、キログラム、カンデラ、モルの7つの基本単位が定義されています。次元解析の手法を改良するために、追加の基本単位や手法を導入すると便利な場合があります。（配向解析と参考文献^[9]を参照）

この例は初歩的ですが、手順を説明するのに役立ちます。

車が時速 100 km で走行しているとします。200 km 進むのにどれくらいの時間がかかりますか?

この質問では、次元を持つ変数、つまり距離、時間、速度を考慮し、次のような形式の法則を求めています。これらの変数のうち 2 つは次元的に独立していますが、3 つを合わせると独立ではありません。したがって、無次元量が存在します。 ${\displaystyle n=3}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d).}$${\displaystyle p=n-k=3-2=1}$

次元行列は、 行が基底次元に対応し、列が考慮される次元（後者は速度次元を表す）に対応する。行列の要素は、それぞれの次元を累乗するべき乗数に対応する。例えば、3番目の列は、列ベクトルで表されるが基底次元で次のように表現できることを示している。$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle L,T,{\text{ and }}V,}$${\displaystyle (1,-1),}$${\displaystyle V=L^{0}T^{0}V^{1},}$${\displaystyle \mathbf {v} =[0,0,1],}$${\displaystyle V=L^{1}T^{-1}=L/T,}$${\displaystyle M\mathbf {v} =[1,-1].}$

無次元定数の場合、行列ベクトル積がゼロベクトルに等しいベクトルを探します。線形代数では、この特性を持つベクトルの集合は、次元行列のカーネル（またはヌル空間）として知られています。この特定のケースでは、カーネルは 1 次元です。上記の次元行列は、縮小された行階段形式であるため、乗法定数の範囲内で非ゼロカーネルベクトルを読み取ることができます。 ${\displaystyle \pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},}$${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}$${\displaystyle M\mathbf {a} }$${\displaystyle [0,0].}$$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.}$$

次元行列がまだ縮小されていない場合は、次元行列に対してガウス・ジョルダン消去法を実行して、カーネルをより簡単に決定できます。次元を対応する次元付き変数に置き換えた無次元定数は、次のように記述できます。 $${\displaystyle \pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.}$$

カーネルは乗法定数内でのみ定義されるため、上記の無次元定数を任意の累乗すると、別の（同等の）無次元定数が生成されます。

次元解析は、このようにして3つの物理変数を関連付ける一般的な方程式を提供した。 または、関数のゼロをとすると 、これは次のように表すことができる（ であったことを思い出す）。 $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle F,}$ $${\displaystyle \pi =C,}$$${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d)}$$${\displaystyle t=C{\frac {d}{v}}.}$$

3 つの変数間の実際の関係は単純に、言い換えれば、この場合、 には1 つの物理的に関連する根があり、それは 1 です。 の単一の値のみが有効であり、それが 1 に等しいという事実は、次元解析の手法では明らかにされません。 ${\displaystyle d=vt.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$

単純な振り子の小さな振動の周期を決定したい。これは長さ、質量、地球表面の重力加速度の関数であると仮定する。地球表面の重力加速度は長さを時間の2乗で割った値である。モデルは次の形式である。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle g,}$$${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}$$

（関数ではなく関係として書かれていることに注意してください。ここでは は の関数として書かれていません） ${\displaystyle T}$${\displaystyle M,L,{\text{ and }}g.}$

周期、質量、長さは次元的に独立だが、加速度は時間と長さで表現できるため、4つの変数を合わせると次元的に独立ではない。したがって、必要なのは次元のないパラメータのみで、これは で表され、モデルは で再表現できる。 ここで は の値に対して で与えられる 。${\displaystyle p=n-k=4-3=1}$${\displaystyle \pi ,}$$${\displaystyle F(\pi )=0,}$$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$$${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.}$

次元量の次元は次のとおりです。 $${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$$

次元行列は次のとおりです。 $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$$

(行は次元とに対応し、列は次元変数に対応します。たとえば、4番目の列は、変数の次元が であることを示しています) ${\displaystyle t,m,}$${\displaystyle \ell ,}$${\displaystyle T,M,L,{\text{ and }}g.}$${\displaystyle (-2,0,1),}$${\displaystyle g}$${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.}$

我々は、の行列積がゼロベクトルを生成するようなカーネルベクトルを探しています。上記のように記述された次元行列は縮小された行階段形式であるため、乗法定数内のカーネルベクトルを読み取ることができます。 ${\displaystyle a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]}$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle [0,0,0].}$$${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$$

すでに簡約されていない場合は、次元行列に対して ガウス・ジョルダン消去法を実行して、カーネルをより簡単に決定できます。したがって、無次元定数は次のように記述できます。 基本的には、 これは無次元です。カーネルは乗法定数の範囲内でのみ定義されるため、上記の無次元定数を任意の累乗にすると、別の同等の無次元定数が生成されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$$$${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,}$$

この例では、4 次元の量のうち 3 つが基本単位であるため、最後の量 ( ) は前の量の組み合わせでなければなりません。の係数が 0 でなかった場合、値をキャンセルする方法がないため、 は0 でなければならないことに注意してください。次元解析により、振り子の周期は質量の関数ではないという結論を下すことができました(質量、時間、距離の累乗の 3D 空間では、質量のベクトルは他の 3 つの変数のベクトルから線形独立していると言えます。スケーリング係数を除けば、 は次元のないパラメーターのベクトルを作成する唯一の非自明な方法です。) ${\displaystyle g}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M.}$${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$

モデルは次のように表現できます。 $${\displaystyle F\left(gT^{2}/L\right)=0.}$$

すると、これは関数のゼロに対して、ゼロが1つしかない場合は、それを と呼ぶことを意味します。ゼロが1つしかないこと、そして定数が実際には次のように与えられることを示すには、より物理的な洞察や実験が必要です。${\displaystyle gT^{2}/L=C_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle gT^{2}/L=C.}$${\displaystyle C=4\pi ^{2}.}$

振り子の大きな振動の場合、最大振り角という追加の無次元パラメータによって解析が複雑になります。上記の解析は、角度がゼロに近づくにつれて良い近似値になります。

π定理の応用を示すために、与えられた形状のスターラーの消費電力を考えてみましょう。寸法 [M · L ² /T ³ ]における電力Pは、密度ρ [M/L ³ ]、撹拌される流体の粘度μ [M/(L · T)]、および直径D [L]で与えられるスターラーのサイズ、およびスターラーの角速度n [1/T] の関数です。したがって、この例を表す変数は合計n = 5 個あります。これらのn = 5 個の変数は、長さ: L ( SI単位: m )、時間: T ( s )、質量: M ( kg ) など、 k = 3 個の独立した寸法から構成されます。

π定理によれば、n = 5 の変数はk = 3 の次元によって削減され、 p = n − k = 5 − 3 = 2 の独立した無次元数を形成できます。通常、これらの量は、流体の流れの状態を記述するレイノルズ数と呼ばれる と、スターラーの無次元記述であるべき数として選択されます。 ${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$

2 つの無次元量は一意ではなく、n = 5 変数のどれがk = 3 次元独立基底変数として選択されるかによって決まることに注意してください。この例では、これらの基底変数は両方の無次元量に現れます。、n 、およびDが基底変数として選択されると、レイノルズ数とべき乗数は上記の解析から除外されます。代わりに、、n 、およびDが選択されると、レイノルズ数は回復され、2 番目の無次元量は になります。 はレイノルズ数とべき乗数の積であること に注意してください。${\textstyle \rho }$${\textstyle \mu }$${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$

次元解析の例として、薄くて硬い平行面の回転ディスクの力学が挙げられます。5つの変数が2つの無次元グループに集約されます。これらの関係は、例えば有限要素法を用いた数値実験によって決定できます。^[10]

この定理は物理学以外の分野でも利用されており、例えばスポーツ科学などでも用いられている。^[11]

• 爆風
• 無次元量
• 自然単位
• 類似性（モデル）
• レイノルズ数

• 円周率定理と相似理論の歴史に関するレビューと原典（ロシア語）