ブランブル・ヒルベルトの補題

数学、特に数値解析において、ジェームズ・H・ブランブルとスティーブン・ヒルベルトにちなんで名付けられたブランブル・ヒルベルトの補題は、関数の近似誤差の上限を定めるものである。${\displaystyle \textstyle u}$次数が最大で多項式${\displaystyle \textstyle m-1}$導関数の観点から${\displaystyle \textstyle u}$順序の${\displaystyle \textstyle m}$近似誤差と導関数の両方${\displaystyle \textstyle u}$測定される${\displaystyle \textstyle L^{p}}$有界領域におけるノルム​${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$これは、例えば線形補間の誤差など、古典的な数値解析に似ています。${\displaystyle \textstyle u}$の2階微分を用いて制限することができる${\displaystyle \textstyle u}$しかし、Bramble–Hilbertの補題は1次元だけでなく任意の次元数に適用され、近似誤差と導関数は${\displaystyle \textstyle u}$それらは、最大値の基準値だけでなく、平均値を含むより一般的な基準値によって測定されます。

ブランブル・ヒルベルトの補題が成り立つためには、領域に関する追加の仮定が必要です。本質的に、領域の境界は「妥当」でなければなりません。例えば、先端にスパイクや角度がゼロのスリットがある領域は除外されます。リプシッツ連続領域は十分に妥当であり、これには凸領域や境界が連続的に微分可能な領域が含まれます。

ブランブル・ヒルベルトの補題の主な用途は、関数の補間誤差の上限を証明することである。${\displaystyle \textstyle u}$次数までの多項式を保存する演算子によって${\displaystyle \textstyle m-1}$の導関数に関して${\displaystyle \textstyle u}$順序の${\displaystyle \textstyle m}$これは有限要素法の誤差推定において不可欠なステップである。ここでは、1つの要素（または、一部の超収束結果では少数の要素）からなる領域にブランブル・ヒルベルトの補題が適用される。

補題を一般化する前に、いくつかの単純な特殊なケースを見ておくと便利です。1次元で関数の場合${\displaystyle \textstyle u}$それは${\displaystyle \textstyle m}$区間上の導関数${\displaystyle \textstyle \left(a,b\right)}$補題は以下のように簡略化される。

$\displaystyle \inf _{v\in P_{m-1}}{\bigl \Vert }u^{\left(k\right)}-v^{\left(k\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}\leq C\left(m,k\right)\left(ba\right)^{mk}{\bigl \Vert }u^{\left(m\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}{\text{各整数 }}k\leq m{\text{ および拡張実数 }}p\geq 1 に対して}$

どこ${\displaystyle \textstyle P_{m-1}}$は次数が最大で のすべての多項式の空間です${\displaystyle \textstyle m-1}$そして${\displaystyle f^{(k)}}$は、${\displaystyle k}$関数の 階微分${\displaystyle f}$。

の場合${\displaystyle \textstyle p=\infty }$、${\displaystyle \textstyle m=2}$、${\displaystyle \textstyle k=0}$、 そして${\displaystyle \textstyle u}$は2回微分可能である。これは、多項式が存在することを意味する。${\displaystyle \textstyle v}$次数が１で、すべての${\displaystyle \textstyle x\in \left(a,b\right)}$、

${\displaystyle \left\vert u\left(x\right)-v\left(x\right)\right\vert \leq C\left(b-a\right)^{2}\sup _{\left(a,b\right)}\left\vert u^{\prime \prime }\right\vert .}$

この不等式は、線形補間のよく知られた誤差推定から、${\displaystyle \textstyle v}$線形補間として${\displaystyle \textstyle u}$。

仮定する${\displaystyle \textstyle \Omega }$は有界領域である${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$、${\displaystyle \textstyle n\geq 1}$境界付き${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$直径​${\displaystyle \textstyle d}$。${\displaystyle \textstyle W_{p}^{k}(\Omega )}$は、すべての関数のソボレフ空間です。${\displaystyle \textstyle u}$の上${\displaystyle \textstyle \Omega }$弱い導関数を持つ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }u}$順序の${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert }$まで${\displaystyle \textstyle k}$で${\displaystyle \textstyle L^{p}(\Omega )}$。 ここ、${\displaystyle \textstyle \alpha =\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$マルチインデックスです。${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$そして${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }}$導関数を表す${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}}$に関して${\displaystyle \textstyle x_{1}}$、${\displaystyle \textstyle \alpha _{2}}$に関して${\displaystyle \textstyle x_{2}}$など。ソボレフ半ノルム${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$構成する${\displaystyle \textstyle L^{p}}$最高階微分のノルム、

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}=\left(\sum _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}{\text{ if }}1\leq p<\infty }$

そして

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{\infty }^{m}(\Omega )}=\max _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$

${\displaystyle \textstyle P_{k}}$は、次数までのすべての多項式の空間です。${\displaystyle \textstyle k}$の上${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$。 ご了承ください${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }v=0}$すべての人々のために${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$そして${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =m}$、 それで${\displaystyle \textstyle \left\vert u+v\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}}$どのような場合でも同じ値になります${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$。

補題（ブランブルとヒルベルト）領域に関する追加の仮定の下で${\displaystyle \textstyle \Omega }$以下に指定する定数が存在する${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,\Omega \right)}$独立して${\displaystyle \textstyle p}$そして${\displaystyle \textstyle u}$任意の${\displaystyle \textstyle u\in W_{p}^{m}(\Omega )}$多項式が存在する${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$すべての${\displaystyle \textstyle k=0,\ldots ,m,}$

${\displaystyle \left\vert u-v\right\vert _{W_{p}^{k}(\Omega )}\leq Cd^{m-k}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.}$

この補題は、BrambleとHilbert ^{[ 1 ]}によって、以下の仮定の下で証明された。${\displaystyle \textstyle \Omega }$強錐特性を満たす。すなわち、有限な開被覆が存在する。${\displaystyle \textstyle \left\{O_{i}\right\}}$の${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$および対応する円錐${\displaystyle \textstyle \{C_{i}\}}$原点に頂点があり、${\displaystyle \textstyle x+C_{i}}$に含まれる${\displaystyle \textstyle \Omega }$いかなる場合でも${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \in \Omega \cap O_{i}}$。

^{ここでの補題の記述は、 [1]の定理1で述べられている右側の不等式を単純に書き直したものである。[ 1 ]}の^{実際の記述}は、因子空間のノルムが${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )/P_{m-1}}$は${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$半正規化。${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ノルムは通常のものではありませんが、項はスケーリングされています${\displaystyle \textstyle d}$そのため、半ノルムの等価性における右側の不等式は、ここで述べたとおりに正確に表されます。

元の結果では、多項式の選択は指定されておらず、定数の値とその定義域への依存性も指定されていません。${\displaystyle \textstyle \Omega }$証明からは判断できない。

^{デュポンとスコット[ 2 ]}は、ドメインが${\displaystyle \textstyle \Omega }$星形である。つまり、球が存在する。${\displaystyle \textstyle B}$任意の${\displaystyle \textstyle x\in \Omega }$の閉じた凸包${\displaystyle \textstyle \left\{x\right\}\cup B}$は、${\displaystyle \textstyle \Omega }$仮に${\displaystyle \textstyle \rho _{\max }}$は、そのような球の直径の最大値です。${\displaystyle \textstyle \gamma =d/\rho _{\max }}$は、${\displaystyle \textstyle \Omega }$。

すると、定数で補題が成り立つ。${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,n,\gamma \right)}$つまり、定数は定義域に依存する。${\displaystyle \textstyle \Omega }$そのずっしりとした大きさによってのみ${\displaystyle \textstyle \gamma }$そして空間の寸法${\displaystyle \textstyle n}$。 加えて、${\displaystyle v}$選択できる${\displaystyle v=Q^{m}u}$、 どこ${\displaystyle \textstyle Q^{m}u(x)}$は平均テイラー多項式です${\displaystyle x}$で${\displaystyle B}$定義済み${\displaystyle u\in W^{m-1,p}(\Omega )}$として

${\displaystyle Q^{m}u(x)=\int _{B}T_{y}^{m}u\left(x\right)\psi \left(y\right)\operatorname {d} y,}$

どこ${\displaystyle T_{y}^{m}}$は

${\displaystyle T_{y}^{m}u\left(x\right)=\sum \limits _{k=0}^{m-1}\sum \limits _{\left\vert \alpha \right\vert =k}{\frac {1}{\alpha$ !}}D^{\alpha }u\left(y\right)\left(xy\right)^{\alpha }}

${\displaystyle u}$の次数 の古典的なテイラー多項式${\displaystyle \textstyle m-1}$で${\displaystyle \textstyle x}$ほぼすべての${\displaystyle y}$. 機能${\displaystyle \textstyle \psi \geq 0}$は、すべての階数の導関数を持ち、 の外側ではゼロに等しい滑らかなモル化関数です。${\displaystyle \textstyle B}$、そして、

${\displaystyle \int _{B}\psi (y)\operatorname {d} y=1.}$

このような機能${\displaystyle \textstyle \psi }$常に存在します。積分を計算し、滑らかさのおかげで${\displaystyle u}$部分積分により、以下の代替形式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q^{m}u(x)&=\sum \limits _{\vert \alpha \vert <m}\sum \limits _{\gamma +\beta =\alpha }{\frac {1}{\alpha$ !}}a_{\gamma ,\beta }x^{\gamma }\int _{B}D^{\alpha }u(y)y^{\beta }\psi (y)\operatorname {d} y\\&=\sum _{|\alpha |<m}\sum _{\gamma +\beta }{\frac {(-1)^{\vert \alpha \vert }}{\alpha  !}}a_{\gamma ,\beta }x^{\gamma }\int _{B}u(y)D^{\alpha }\left[y^{\beta }\psi (y)\right]\operatorname {d} y.\end{aligned}}}

後者の形式は、滑らかさの要件を緩和することを可能にする。${\displaystyle u}$メンバーであることから${\displaystyle W^{m-1,p}}$単にメンバーであることよりも${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ATPは古典的なTPのようにポイントごとの構成ではないが、それでもボールに局所的である。${\displaystyle B}$ 必要に応じて繰り返すことができます。

詳細およびチュートリアルについては、BrennerとScottのモノグラフを参照してください。^{[ 3 ]}この結果は、ドメインが次の場合にも拡張できます。${\displaystyle \textstyle \Omega }$は、有限個の星形領域の和集合であり、強い錐の性質よりもやや一般的であり、与えられた次数までのすべての多項式の空間よりも他の多項式空間である。^{[ 2 ]}

この結果は上記の補題から直ちに導かれ、例えばCiarletによって Bramble–Hilbert 補題とも呼ばれることがある。^{[ 4 ]これは本質的に[ 1 ]}の定理 2 である。

補題次のように仮定する${\displaystyle \textstyle \ell }$は連続線形関数である${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$そして${\displaystyle \textstyle \left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}}$その双対ノルム。${\displaystyle \textstyle \ell \left(v\right)=0}$すべての人々のために${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$すると定数が存在する${\displaystyle \textstyle C=C\left(\Omega \right)}$そのため

${\displaystyle \left\vert \ell \left(u\right)\right\vert \leq C\left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.}$

• Raytcho D. Lazarov (2001) [1994]、「Bramble–Hilbert lemma」、数学百科事典、EMS Press
• マンデル、ヤン（2007年10月28日）。「ブランブル・ヒルベルトの補題」。arXiv ： 0710.5148 [ math.NA ]。