均一な積分可能性

数学において、一様積分可能性は実解析、関数解析、測度論における重要な概念であり、マルチンゲール理論において重要な役割を果たします。

一様積分可能性は、支配収束の中心となる関数族が支配されるという概念の拡張である。実解析と測度論のいくつかの教科書では、次の定義が使われている: ^{[1] [2]}${\displaystyle L_{1}}$

定義A:を正測度空間と する。集合が一様積分可能と呼ばれるのは、であり、それぞれに が対応し、 ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu )}<\infty }$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

いつでも${\displaystyle f\in \Phi }$${\displaystyle \mu (E)<\delta .}$

定義Aは無限測度空間に対してはかなり制限的である。一般測度空間でうまく機能する一様積分可能性のより一般的な定義^[3]はGA Huntによって導入された。

定義 H:を正測度空間とする。集合が一様積分可能と呼ばれるのは、 ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$

${\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>g\}}|f|\,d\mu =0}$

どこ。 ${\displaystyle L_{+}^{1}(\mu )=\{g\in L^{1}(\mu ):g\geq 0\}}$

基礎となる測度空間が有限である場合、ハントの定義は定義 A と同等であるため (以下の定理 2 を参照)、定義 H は数学で広く採用されています。

次の結果^[4]はハントの結果と同等の別の概念を提供する。この同等性は一様積分可能性の定義として与えられることもある。

定理1:が（正の）有限測度空間である場合、集合が一様積分可能であることは、 ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$

${\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-g)^{+}\,d\mu =0}$

さらに、一様積分可能性は次の条件のいずれかと同等である。 ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$

1. . ${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-a)_{+}\,d\mu =0}$

2.${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0}$

基礎となる空間が有限である場合、ハントの定義は次のものと同等です。 ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$${\displaystyle \sigma}$

定理2:を有限測度空間とし、ほぼどこでもとなるものとする。集合が一様積分可能であるのは、 のときのみであり、任意の に対して、が 存在して${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle h\in L^{1}(\mu )}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu )}<\infty }$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

いつでも。 ${\displaystyle \int _{A}h\,d\mu <\delta }$

定理 1 と 2 の帰結として、有限測度に対する定義 A と H の同値性が導かれます。実際、定義 A の記述は定理 2 を取り入れることで得られます。 ${\displaystyle h\equiv 1}$

確率論では、定義Aまたは定理1の記述は、確率変数の期待値という表記法を用いた一様積分可能性の定義としてよく提示される。^{[5] [6] [7]}すなわち、

1.確率変数のクラスが一様積分可能であるとは次の場合である。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• 任意のに対してとなる有限が存在し、${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)\leq M}$
• 任意の に対して となるものが存在し、任意の測定可能 に対してとなるものが存在し、内の任意の に対して となるものが存在する。 ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(A)\leq \delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \epsilon }$

あるいは

2. 任意の に対して （ここでは指示関数）となるような値が存在するとき、確率変数のクラスは一様積分可能（UI）と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle K\in [0,\infty )}$${\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \varepsilon \ {\text{ for all }}X\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle I_{|X|\geq K}}$ ${\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K.\end{cases}}}$

ランダム変数のクラスが一様積分可能であることの1つの帰結は 、法則または分布の族が緊密であるということです。つまり、各 に対して、 すべての に対して となるような が存在するということです。^[8]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \{P\circ |X|^{-1}(\cdot ):X\in {\mathcal {C}}\}}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle a>0}$$${\displaystyle P(|X|>a)\leq \delta }$$${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$

しかし、これは測度の族がタイトであることを意味するものではありません。(いずれにせよ、タイトさを定義するには 上の位相が必要になります。)${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}:={\Big \{}\mu _{X}:A\mapsto \int _{A}|X|\,dP,\,X\in {\mathcal {C}}{\Big \}}}$${\displaystyle \Omega }$

一様積分性とは少し異なる別の概念である一様性も存在し、これも確率論や測度論に多くの応用があり、確率変数が有限積分を持つことを必要としない^[9]

定義:が確率空間であるとします。ランダム変数の クラスは、任意の に対してとなるようなもの が存在する場合、に関して 一様絶対連続です。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle E[|X|I_{A}]<\varepsilon }$${\displaystyle P(A)<\delta }$

測度が有限で原子がない場合、それは一様積分可能性と同等です。

「均一な絶対的連続性」という用語は標準的ではないが^[要出典]、一部の著者によって使用されている。^{[10] [11]}

以下の結果は確率的定義に当てはまる。^[12]

• 定義1は、次のように極限をとることで書き直すことができる。$${\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}\operatorname {E} (|X|\,I_{|X|\geq K})=0.}$$
• 非 UI シーケンス。、およびを定義すると、明らかにとなり、すべてのnに対して となります。ただし、およびを定義 1 と比較すると、シーケンスは一様に積分可能ではないことがわかります。${\displaystyle \Omega =[0,1]\subset \mathbb {R} }$$${\displaystyle X_{n}(\omega )={\begin{cases}n,&\omega \in (0,1/n),\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$${\displaystyle X_{n}\in L^{1}}$${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,}$$${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|I_{\{|X_{n}|\geq K\}})=1\ {\text{ for all }}n\geq K,}$$

• 上記の例の定義 2 を使用すると、すべての のノルムが 1、つまり有界であるため、最初の節が満たされていることがわかります。しかし、任意の正の が与えられると、すべての に対して未満の測度を持つ区間が存在するため、2 番目の節は成り立ちません。${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (0,1/n)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1}$${\displaystyle m\geq n}$
• がUIランダム変数である場合、2 つをそれぞれ分割して境界を設定すると、一様積分可能ランダム変数は常に で境界設定されることがわかります。${\displaystyle X}$$${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|\geq K\}})+\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|<K\}})}$$${\displaystyle L^{1}}$
• 任意のランダム変数のシーケンスが積分可能な非負の によって支配されている場合、つまりすべてのωとnに対して、ランダム変数のクラスは一様に積分可能です。${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle |X_{n}(\omega )|\leq Y(\omega ),\ Y(\omega )\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty ,}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \{X_{n}\}}$
• ( )で囲まれたランダム変数のクラスは一様積分可能である。${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p>1}$

以下では、確率論的枠組みを使用しますが、測度の有限性に関係なく、 の選択されたサブセットに有界条件を追加します。 ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

• ダンフォード・ペティス定理^{[13] [14]}
  ランダム変数のクラス^{[要説明]は、それが}弱い位相に対して比較的コンパクトである場合にのみ、一様積分可能である。^{[要説明] [要引用]}${\displaystyle X_{n}\subset L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \sigma (L^{1},L^{\infty })}$
• ド・ラ・ヴァレ・プッサンの定理^{[15] [16]}
  この族が一様積分可能であるのは、非負の増加凸関数が存在し、${\displaystyle \{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\subset L^{1}(\mu )}$${\displaystyle G(t)}$$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty {\text{ and }}\sup _{\alpha }\operatorname {E} (G(|X_{\alpha }|))<\infty .}$$

数列がノルムでに収束するのは、測度で に収束し、一様積分可能である場合のみです。確率論的に言えば、確率的に収束するランダム変数の数列が平均にも収束するのは、一様積分可能である場合のみです。^{[17]これはルベーグの}優勢収束定理の一般化です。ヴィタリの収束定理を参照してください。 ${\displaystyle \{X_{n}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle X}$

• シリヤエフ、AN (1995)。確率(第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。 187-188ページ。ISBN 978-0-387-94549-1。
• Diestel, J. および Uhl, J. (1977)。ベクトル測定、数学調査 15、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州ISBN 978-0-8218-1515-1