ヴィタリの収束定理

実解析と測度論において、イタリアの数学者ジュゼッペ・ヴィタリにちなんで名付けられたヴィタリ収束定理は、アンリ・ルベーグのよく知られた優勢収束定理の一般化である。これは、測度の収束と一様積分可能性に関連する条件の観点から、L ^pの収束を特徴付けるものである。

を測度空間、すなわち がかつが可算加法となる集合関数とします。以降の説明で扱う関数はすべて関数（ただしまたは ）です。ボガチェフの用語法に従って以下の定義を採用します。^[1]${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

• 関数の集合が一様積分可能であるとは次のとき呼ばれる。すなわち、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle \lim _{M\to +\infty }\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|>M\}}|f|\,d\mu =0}$${\displaystyle \forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ M_{\varepsilon }>0:\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|\geq M_{\varepsilon }\}}|f|\,d\mu <\varepsilon }$
• 関数の集合が一様絶対連続積分を持つとは、すなわち の場合であると言われます。この定義は、一様積分可能性の定義として使用されることがあります。ただし、これは上記の一様積分可能性の定義とは異なります。${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle \lim _{\mu (A)\to 0}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu =0}$${\displaystyle \forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ \delta _{\varepsilon }>0,\ \forall \ A\in {\mathcal {A}}:\mu (A)<\delta _{\varepsilon }\Rightarrow \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

のとき、関数の集合が一様積分可能であることと、それが で有界であり、一様絶対連続積分を持つことが同値である。さらに、が原子を持たない場合、一様積分可能性は積分の一様絶対連続性と同等である。 ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle \mu }$

を を持つ測度空間とします。およびを -測度可能な関数とします。このとき、以下は同値です。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle \mu (X)<\infty }$${\displaystyle (f_{n})\subset L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

1. ${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$およびに収束します 。${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$
2. 関数の列はに- 測度収束し、一様積分可能である。${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f}$${\displaystyle (|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}}$

証明についてはボガチェフのモノグラフ「測度論、第1巻」を参照のこと。^[1]

を測度空間とし、 とします。 をとします。すると、がに収束するのは、次が成り立つ場合のみです。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 1}\subseteq L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$

1. 関数の列は- 測度で に収束します 。${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f}$
2. ${\displaystyle (f_{n})}$一様に絶対連続な積分を持つ。
3. 任意の に対して、 が存在し、 ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle X_{\varepsilon }\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mu (X_{\varepsilon })<\infty }$${\displaystyle \sup _{n\geq 1}\int _{X\setminus X_{\varepsilon }}|f_{n}|^{p}\,d\mu <\varepsilon .}$

のとき、3 番目の条件は不要になり (単に とすることができます)、最初の 2 つの条件は、もともと有限測度を持つ測度空間に対して示されたルベーグ-ヴィタリの収束定理の通常の形を与えます。この場合、条件 1 と 2 は、シーケンスが一様積分可能であることを意味することを示すことができます。 ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$${\displaystyle X_{\varepsilon }=X}$${\displaystyle (|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}}$

を測度空間とします。 とし、任意の に対してが存在すると仮定します。すると、 列はで有界となり、一様絶対連続積分を持ちます。さらに、任意の に対してとなる が存在します。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 1}\subseteq L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu }$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle f\in L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}f\,d\mu }$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

のとき、 は一様積分可能であることを意味します。 ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$${\displaystyle (f_{n})}$

証明についてはボガチェフのモノグラフ「測度論、第1巻」を参照のこと。^[1]