ボーズ・ハバードモデル

ボーズ・ハバードモデルは、格子上で相互作用するスピンのないボソンの物理を記述する。これは、固体物理学で超伝導システムと結晶固体の原子間の電子の運動のおおよその記述として生まれたハバードモデルと密接に関連している。このモデルは、1963 年に粒状超伝導体の文脈でガーシュとノルマン^[1]によって導入された。(モデル名の「ボーズ」という用語は、システム内の粒子がボソンであるという事実を指す。) このモデルは、フェルミオン金属絶縁体モデルよりもはるかに数学的に扱いやすい方法で超流体絶縁体転移の本質を捉えていることがわかり、1980 年代に注目を集めた。^{[2] [3] [4]}

ボーズ・ハバード模型は、光格子内のボソン原子[5]や特定の磁性絶縁体[6][7]などの物理系を記述するために使用できます。さらに^、一般^化してボーズ・フェルミ混合体に適用することができ、その場合、対応するハミルトニアンはボーズ・フェルミ・ハバードハミルトニアンと呼ばれます。

このモデルの物理特性はボーズ・ハバード・ハミルトニアンで表されます。

${\displaystyle H=-t\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\left({\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{j}+{\hat {b}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}\right)+{\frac {U}{2}}\sum _{i}{\hat {n}}_{i}\left({\hat {n}}_{i}-1\right)-\mu \sum _{i}{\hat {n}}_{i}.}$

ここで、はすべての隣接する格子サイトとの合計を表し、および はボソン生成消滅演算子であり、 はサイト 上の粒子の数を与える。モデルは、格子内のボソンの移動度を表すホッピング振幅、引力 ( ) または反発力 ( )になるオンサイト相互作用、および基本的に粒子の数を設定する化学ポテンシャルによってパラメータ化されます。特に指定がない場合は、通常、「ボーズ-ハバード モデル」という用語は、オンサイト相互作用が反発力である場合を指します。 ${\displaystyle \left\langle i,j\right\rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{}}$${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U<0}$${\displaystyle U>0}$ ${\displaystyle \mu}$

このハミルトニアンは大域的対称性を持ち、つまり変換によって不変（物理的特性は変化しない）である。超流動相では、この対称性は自発的に破れる。 ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\rightarrow e^{i\theta }{\hat {b}}_{i}}$

ボーズ-ハバード模型のヒルベルト空間の次元は で与えられ、ここで は粒子の総数、 は格子サイトの総数を表します。またはが固定されている場合、ヒルベルト空間の次元は多項式的に増加しますが、サイトあたりのボソンの密度が固定されている場合、 として指数関数的に増加します。 類似のハミルトニアンは、スピンのないフェルミオン (フェルミ-ハバード模型) または異なる原子種の混合 (ボーズ-フェルミ混合など) を記述するために定式化される場合があります。 混合の場合、ヒルベルト空間は、個々の種のヒルベルト空間のテンソル積にすぎません。 通常、種間の相互作用をモデル化するために追加の項が含まれます。 ${\displaystyle D_{b}=(N_{b}+L-1)!/N_{b}!(L-1)!}$${\displaystyle N_{b}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle N_{b}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle D_{b}}$${\displaystyle n_{b}}$${\textstyle D_{b}\sim \left[(1+n_{b})\left(1+{\frac {1}{n_{b}}}\right)^{n_{b}}\right]^{L}}$

温度ゼロでは、ボーズ-ハバードモデル（無秩序がない場合）は、小さい ではモット絶縁状態、大きい では超流動状態のいずれかになります。^[8]モット絶縁相は、整数ボソン密度、粒子-正孔励起のエネルギーギャップの存在、およびゼロ圧縮率によって特徴付けられます。超流動は、長距離位相コヒーレンス、ハミルトニアンの連続対称性の自発的な破れ、非ゼロ圧縮率、および超流動感受率によって特徴付けられます。非ゼロ温度では、特定のパラメータ領域で、対称性を破らず位相コヒーレンスを示さない通常の流体相が出現します。これらの両方の相は、極低温原子気体で実験的に観察されています。^[9]${\displaystyle t/U}$${\displaystyle t/U}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle U(1)}$

無秩序な場合、3番目の「ボーズガラス」相が存在する。^[4]ボーズガラスはグリフィス相であり、超流動体の稀な「水たまり」を含むモット絶縁体と考えることができる。これらの超流動プールは相互接続されていないため、システムは絶縁体のままであるが、その存在によりモデルの熱力学が大幅に変化する。ボーズガラス相は、有限の圧縮率、ギャップの欠如、および無限の超流動感受率によって特徴付けられる。^[4]ギャップがなくても絶縁体であるのは、トンネル効果が低いため、エネルギー的には近いが空間的に分離されている励起の生成が妨げられるためである。ボーズガラスは、非ゼロのエドワーズ・アンダーソン秩序パラメータを持ち^{[10] [11] 、}レプリカ対称性の破れを示すことが示唆されている（ただし証明されていない）。^[12]

クリーンなボーズ-ハバード模型の位相は、平均場ハミルトニアンを使用して記述できます。 ^[13]ここで、 は格子配位数です。これは、完全なボーズ-ハバード ハミルトニアンから と設定し、 の二次項（無限小と仮定）を無視して にラベルを付け直すことで取得できます。このデカップリングにより、のすべての非ゼロ値に対して初期ハミルトニアンの対称性が破れるため、このパラメーターは超流体秩序パラメーターとして機能します。簡単にするために、このデカップリングでは がすべてのサイトで同じであると仮定し、超固体やその他の不均質相などのエキゾチックな相を排除します。（他のデカップリングも可能です。） 相図は、2次摂動論を使用してこの平均場ハミルトニアンのエネルギーを計算し、 となる条件を見つけることで決定できます。このため、ハミルトニアンは、サイトローカル部分と摂動を加えたものとして記述されます。ここで、双線形項とその共役項は摂動として扱われます。秩序パラメータは、相転移 の近くでは小さいと仮定されます。局所項はフォック基底で対角となり、ゼロ次のエネルギー寄与を与えます。ここで、はフォック状態の充填を表す整数です。摂動部分は、2 次摂動論で扱うことができ、次のようになります。エネルギーは、秩序パラメータの偶数べき乗の級数展開として表すことができます (ランダウ形式とも呼ばれます)。これを行うと、モット絶縁体と超流動相の間の平均場 2 次相転移の条件は次のように与えられます。ここで、整数はモット絶縁ローブの充填を表します。 の異なる整数値について線をプロットすると、相図に示すように、異なるモットローブの境界が生成されます。^[4]$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\textrm {MF}}&=\sum _{i}\left[-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })+zt\psi ^{*}\psi \right]\end{aligned}}}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\rightarrow \psi +\delta {\hat {b}}}$${\displaystyle \psi =\langle {\hat {b}}_{i}\rangle }$${\displaystyle \delta {\hat {b}}_{i}}$${\displaystyle \delta {\hat {b}}_{i}\rightarrow {\hat {b}}_{i}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi \neq 0}$$${\displaystyle H_{\textrm {MF}}=\sum _{i}\left[h_{i}^{(0)}-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })\right]\quad {\textrm {with}}\quad h_{i}^{(0)}=-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)+zt\psi ^{*}\psi }$$${\displaystyle \psi ^{*}{\hat {b}}_{i}}$${\displaystyle \psi}$$${\displaystyle E_{m}^{(0)}=-\mu m+{\frac {U}{2}}m(m-1)+zt|\psi |^{2}}$$${\displaystyle m}$$${\displaystyle E_{m}^{(2)}=zt|\psi |^{2}\sum _{n\neq m}{\frac {|\langle m|({\hat {b}}_{i}^{\dagger }+{\hat {b}}_{i})|n\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}=-(zt)^{2}|\psi |^{2}\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right).}$$$${\displaystyle E={\text{constant}}+R|\psi |^{2}+W|\psi |^{4}+...}$$$${\displaystyle r={\frac {R}{zt}}=1+zt\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right)=0}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle m^{th}}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle m}$

光格子内の極低温原子はボーズ・ハバード模型の標準的な実現と考えられている。簡単な実験技術を使用してモデルパラメータを調整できることと、固体電子システムに存在する格子ダイナミクスが存在しないことから、極低温原子はボーズ・ハバード模型のクリーンかつ制御可能な実現を提供する。^{[14] [5]}光格子技術の最大の欠点はトラップの寿命であり、原子は通常数十秒しかトラップされない。

超低温原子がボーズ-ハバード物理学をこのように便利に実現する理由を理解するために、光格子ポテンシャル内の超低温原子のガスを記述する第 2 量子化ハミルトニアンからボーズ-ハバード ハミルトニアンを導出することができます。このハミルトニアンは次のように表されます。

${\displaystyle H=\int {\rm {d}}^{3}r\!\left[{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}})\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\rm {latt.}}({\vec {r}})\right){\hat {\psi }}({\vec {r}})+{\frac {g}{2}}{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})-\mu {\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})\right]}$、

ここで、は光格子ポテンシャル、は（接触）相互作用振幅、 は化学ポテンシャルです。タイトバインディング近似により という置換が得られ、ボーズ・ハバードハミルトニアンが導かれます。 物理は最低バンド（ ）に制限され、相互作用は離散モードのレベルで局所的です。 数学的には、の場合を除いて、これは という要件として述べることができます。 ここで、は格子のサイト の周りに局在する光格子ポテンシャル内の粒​​子に対するワニエ関数であり、番目のブロッホバンドに対するものです。^[15]${\displaystyle V_{latt}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu }$${\textstyle {\hat {\psi }}({\vec {r}})=\sum \limits _{i}w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})b_{i}^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha =0}$${\textstyle \int w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})w_{j}^{\beta }({\vec {r}})w_{k}^{\gamma }(r)w_{l}^{\delta }({\vec {r}})\,{\rm {d}}^{3}r=0}$${\displaystyle i=j=k=l\wedge \alpha =\beta =\gamma =\delta =0}$${\displaystyle w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$

タイトバインディング近似は、2 番目の量子化ハミルトニアンを大幅に簡素化しますが、同時にいくつかの制限も導入します。

• 単一サイト状態で複数の粒子が単一状態にある場合、相互作用はより高いブロッホバンドに結合する可能性があり、これは基本的な仮定と矛盾する。それでも、単一バンドモデルはそのような設定の低エネルギー物理を扱うことができるが、パラメータUとJは密度に依存する。1つのパラメータUの代わりに、n個の粒子の相互作用エネルギーはUに近いが等しくないとして記述される可能性がある。 ^[15]${\displaystyle U_{n}}$
• （高速）格子ダイナミクスを考慮する場合、時間依存のシュレーディンガー方程式が（時間依存の）ワニエ関数基底に従うように、ハミルトニアンに追加の項が追加されます。これらの項は、ワニエ関数の時間依存性から来ています。^{[16] [17]}あるいは、モデルの主要なパラメータを時間依存にし、光学ポテンシャルの瞬間値に応じて変化させることで、格子ダイナミクスを組み込むこともできます。

ボーズ・ハバード模型における量子相転移はグレイナーらによって実験的に観測され^[9]、密度依存相互作用パラメータはイマニュエル・ブロッホのグループによって観測された^[18] 。ボーズ・ハバード模型の単原子分解能イメージングは​​、2009年から量子ガス顕微鏡を用いて可能となっている^{[19 ]。 [20] [21]}${\displaystyle U_{n}}$

ボーズ・ハバードモデルは量子計算や量子情報の分野で興味深い。このモデルを使って極低温原子のエンタングルメントを研究することができる。^[22]

低エネルギー状態の計算において、に比例する項は、単一サイトが大きな占有をすることはあり得ないことを意味し、局所ヒルベルト空間を最大で粒子を含む状態に切り捨てることができる。この場合、局所ヒルベルト空間の次元は、完全なヒルベルト空間の次元は格子サイト数とともに指数関数的に増大し、ヒルベルト空間全体の正確なコンピュータシミュレーションは、15～20格子サイト内の15～20粒子のシステムに限定される。^{[引用が必要]}実験システムには数百万のサイトが含まれており、平均充填率は1を超えている。^{[引用が必要]}${\displaystyle n^{2}U}$${\displaystyle d<\infty }$${\displaystyle d+1.}$

1次元格子は、密度行列繰り込み群（DMRG）や時間発展ブロックデシメーション（TEBD）などの関連技術を使用して研究することができます。これには、数千の格子サイト上の数千の粒子のシステムのハミルトニアンの基底状態を計算し、時間依存シュレーディンガー方程式によって支配されるそのダイナミクスをシミュレートすることが含まれます。最近、^{[いつ？ ]} 2次元格子は、基底状態^{[23]と有限温度[24]}の両方について、高次元の行列積状態の一般化である投影エンタングルドペア状態を使用して研究されています。

高次元では、エンタングルメントの急速な増加により、さらに困難になります。^[25]

すべての次元は量子モンテカルロアルゴリズムによって扱うことができ、 ^{[引用が必要]}これはハミルトニアンの熱状態、特に基底状態の特性を研究する方法を提供します。

ボーズ-ハバード型ハミルトニアンは、周期ポテンシャル内に極低温原子ガスを含むさまざまな物理システムに対して導出できます。これには次のものが含まれます。

• の形の長距離密度-密度相互作用を持つシステム。これは、特定のパラメータ値に対して超固体相を安定化させる可能性がある。${\displaystyle Vn_{i}n_{j}}$
• 二量体化磁性体。スピン1/2の電子が二量体と呼ばれるペアで結合しており、ボソン励起統計を持ち、ボーズ-ハバードモデルで記述される。
• 長距離双極子相互作用^[26]
• 相互作用誘起トンネル項を持つシステム^[27]${\displaystyle a_{i}^{\dagger }(n_{i}+n_{j})a_{j}}$
• 原子の内部スピン構造、例えば超微細スピン状態の縮退多様体全体を捕捉することによるもの（F=1の場合にはスピン1のボーズ・ハバード模型につながる）^{[28] [説明が必要]}
• ガスが追加のポテンシャルを経験する状況、例えば無秩序なシステムにおいて。^[29]無秩序性はスペックルパターンによって実現されるか、または第2の不整合な弱い光格子を使用して実現される。後者の場合、無秩序性を含めることは、次の形式の項を追加することに等しい。${\displaystyle H_{I}=V_{d}\sum \limits _{i}\cos(ki+\varphi ){\hat {n}}_{i}}$

• ジェインズ・カミングス・ハバードモデル