ブールリング

数学において、ブール環 Rは、 R内のすべてのxに対してx ² = xとなる環、つまりべき等元のみからなる環である。^{[1] [2] [3]一例として、} 2 を法とする整数の環が挙げられる。

すべてのブール環はブール代数を生じ、環の乗算は連言または交わり ∧に対応し、環の加算は排他的選言または対称差（半環を構成する選言 ∨ ^[4]ではない）に対応する。逆に、すべてのブール代数はブール環を生じる。ブール環はブール代数の創始者であるジョージ・ブールにちなんで名付けられている。

ブール環とブール代数には、少なくとも 4 つの異なる互換性のない表記法があります。

• 可換代数では、標準的な表記法として、xとyの環和にx + y = ( x ∧ ¬ y ) ∨ (¬ x ∧ y )を使用し、積にxy = x ∧ y を使用します。
• 論理学では、一般的な表記法として、交わりにはx ∧ y（環積と同じ）を使用し、結合にはx ∨ y を使用し、環表記法（上記で示した）ではx + y + xyと表されます。
• 集合論と論理学では、交わりにx · y を、結合x ∨ yにx + y を使うことも一般的です。^[5] この+の使い方は環論での使い方とは異なります。
• 珍しい慣例ですが、+の曖昧さを避けるために、積にxy を使用し、環の和にx ⊕ y を使用します。

歴史的に、「ブール環」という用語は「恒等式を持たない可能性のあるブール環」を意味するために使用され、「ブール代数」は恒等式を持つブール環を意味するために使用されてきた。恒等式の存在は、環を2つの元の体上の代数として考えるために必要であり、そうでなければ、2つの元の体のブール環への（単位）環準同型は存在できない。（これは、測度論における「環」と「代数」という用語の古い用法と同じである。^[a]）

ブール環の一例は、任意の集合Xのべき集合です。ここで、環の加算は対称差、乗算は共通部分です。別の例として、対称差と共通部分を演算として、 Xのすべての有限または余有限部分集合の集合を考えることもできます。より一般的には、これらの演算により、任意の集合体はブール環になります。ストーンの表現定理により、すべてのブール環は集合体（これらの演算を伴う環として扱われる） と同型です。

ブール代数における結合演算∨ は加算的に記述されることが多いため、この文脈では、排他的論理和を表すためによく使用される記号である⊕で環の加算を表すのが理にかなっています。

ブール環Rが与えられ、R内のxとyに対して次のように定義できる。

x ∧ y = xy、

x ∨ y = x ⊕ y ⊕ xy、

¬ x = 1 ⊕ x .

これらの演算は、ブール代数における交差、結合、補数の公理をすべて満たします。したがって、すべてのブール環はブール代数になります。同様に、すべてのブール代数はブール環になります。

xy = x ∧ y、

x ⊕ y = ( x ∨ y ) ∧ з( x ∧ y )。

ブール環をこのようにブール代数に変換し、次にブール代数を環に変換すると、結果は元の環になります。ブール代数から始めても、同様の結果が成り立ちます。

2 つのブール環間の写像は、対応するブール代数の準同型である場合に限り、環準同型です。さらに、ブール環の部分集合が 環イデアル(素環イデアル、極大環イデアル) である場合に限り、それがブール代数の順序イデアル(素順序イデアル、極大順序イデアル) です。環イデアルを法とするブール環の商環は、対応する順序イデアルを法とする対応するブール代数の因数代数に対応します。

任意のブール環R は、R内のすべてのxに対してx ⊕ x = 0 を満たす。これは、

x ⊕ x = ( x ⊕ x ) ² = x ² ⊕ x ² ⊕ x ² ⊕ x ² = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x

そして、( R , ⊕)はアーベル群なので、この式の両辺からx ⊕ x を引くと、 x ⊕ x = 0となります。同様の証明により、すべてのブール環は可換であることが示されます。

x ⊕ y = ( x ⊕ y ) ² = x ² ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y ² = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ yとなり、 xy ⊕ yx = 0となり、これはxy = yxを意味します(上記の最初の特性を使用)。

性質x ⊕ x = 0は、任意のブール環が、正確に一方向に、2つの元を持つ体F ₂上の結合代数であることを示しています。 ^[要出典]特に、任意の有限ブール環は、濃度として2のべき乗を持ちます。 F ₂上のすべての単位結合代数がブール環であるわけではありません。たとえば、多項式環F ₂ [ X ]を考えてみましょう。

任意のブール環Rの任意のイデアルIを法とする商環R / Iもまたブール環である。同様に、ブール環の 任意の部分環はブール環である。

ブール環Rの集合S⊆Rによる任意の局所化RS − 1^はブール環である。局所化内のすべての要素が冪等だからである。

ブール環Rの商の最大環Q ( R ) (UtumiとLambekの意味で)はブール環である。なぜなら、すべての部分自己準同型は冪等だからである。^[6]

ブール環Rのすべての素イデアル Pは極大です。商環R / Pは整域であり、ブール環でもあるため、体F ₂と同型であり、Pが極大であることを示します。極大イデアルは常に素であるため、ブール環では素イデアルと極大イデアルは一致します。

ブール環のすべての有限生成イデアルは主イデアルです（実際、( x , y ) = ( x + y + xy )）。さらに、すべての要素が冪等であるため、ブール環は可換フォン・ノイマン正則環であり、したがって絶対平坦であり、つまりブール環上のすべての加群は平坦です。

ブール環における統一は決定可能であり^[7]、つまりブール環上の任意の方程式を解くアルゴリズムが存在する。有限生成自由ブール環における統一とマッチングはともにNP完全であり、有限提示ブール環ではともにNP困難である^[8]。（実際、ブール環における任意の統一問題f ( X ) = g ( X )はマッチング問題f ( X ) + g ( X ) = 0と書き直すことができるため、これらの問題は同等である。）

ブール環における統一は、解釈されない関数記号がすべて無項であれば統一的であり、そうでない場合は有限である（つまり、ブール環のシグネチャに現れない関数記号がすべて定数であれば最も一般的な統一子が存在し、そうでない場合は統一子の最小完全集合は有限である）。^[9]

• 環和正規形

• アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、IG（1969）、可換代数入門、ウェストビュー・プレス、ISBN 978-0-201-40751-8
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• フレイリー、ジョン B. (1976)、抽象代数入門(第 2 版)、アディソン ウェズレー、ISBN 978-0-201-01984-1
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• ジョン・アームストロング、ブールリング