境界層の厚さ

境界層の厚さ、${\displaystyle \delta }$は、流れの速度が実質的に「漸近」速度に達した点までの壁に垂直な距離です。$u_e$モーメント法が開発される以前は、境界層の厚さを定義する明確な方法がなかったため、1900年代後半の流体解析コミュニティの多くは、位置$y_99$と表記される$\displaystyle \delta _{99}}$そして、

${\displaystyle u(x,y_{99})=0.99u_{e}(x)\quad ,}$

境界層の厚さとして。

ブラジウス解条件に従って振る舞う平板チャネルに沿った層流境界層流れの場合、$\displaystyle \delta _{99}}$^{値は[ 3 ]}によって近似される

${\displaystyle \delta _{99}(x)\approx 5.0{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}=5.0{x \over {\sqrt {\mathrm {Re} _{x}}}}\quad ,}$

どこ$u_e \approx u_0$は定数であり、

${\displaystyle \mathrm {Re} _{x}}$はレイノルズ数です。

$u0$は自由流速度です。

$u_e$は漸近速度であり、

${\displaystyle x}$は境界層の開始点から下流方向への距離であり、

${\displaystyle \nu }$は動粘度です。

平板チャネルに沿った乱流境界層の場合、境界層の厚さは、${\displaystyle \delta }$^{は[ 4 ]}で与えられる。

$\displaystyle \delta (x)\approx 0.37{x \over {\mathrm {Re} _{x}}^{1/5}}\quad .}$

この乱流境界層厚さの式は、1) 流れが境界層の開始時から乱流であること、および 2) 乱流境界層が幾何学的に類似した挙動を示すこと^{[ 5 ]} (すなわち、速度プロファイルはx 方向の流れに沿って幾何学的に類似しており、スケーリングパラメータのみが異なる) を仮定しています。${\displaystyle y}$そして${\displaystyle u(x,y)}$これらの仮定のどちらも、一般的な乱流境界層の場合には当てはまらないため、この式を適用する際には注意が必要です。

変位厚さ、$\displaystyle \delta _{1}}$または$\displaystyle \delta ^{*}}$は、一様な速度で流れる仮想的な非粘性流体の下端を表す基準面までの法線距離である。$u_e$これは、境界層を持つ実際の流体で発生する流量と同じ流量を持つ。^{[ 6 ]}

変位厚さは、流体中に浸された物体の形状を本質的に変化させ、変位厚さが事前にわかっている場合には、原理的には非粘性解を可能にする。

圧縮性流れにおける変位厚さの定義は、質量流量に基づいており、

${\displaystyle {\delta _{1}(x)}=\int _{0}^{H/2}{\left(1-{\rho (x,y)u(x,y) \over \rho _{e}u_{e}(x)}\right)\,\mathrm {d} y}\quad ,}$

どこ${\displaystyle \rho (x,y)}$は密度です。非圧縮性流れの場合、密度は一定なので、体積流量に基づく定義は次のようになります。

${\displaystyle {\delta _{1}(x)}=\int _{0}^{H/2}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\,\mathrm {d} y}\quad .}$

乱流境界層の計算には、時間平均された密度と速度が使用されます。

ブラジウス解条件に従って振る舞う平板に沿った層流境界層流れの場合、変位厚さは^{[ 7 ]である。}

${\displaystyle \delta _{1}(x)\approx 1.72{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\quad ,}$

どこ$u_e \approx u_0$定数である。

変位厚さは境界層厚さと直接関係はないが、近似的に次のように表される。${\displaystyle \delta _{1}\approx \delta /3}$[ ^{8 ]形状係数の計算において重要な役割を果たします。また、} モーメント法のさまざまな式にも現れます。

運動量の厚さ、${\displaystyle \theta }$または$\displaystyle \delta _{2}}$は、一様な速度で流れる仮想的な非粘性流体の下端を表す基準面までの法線距離である。$u_e$これは、境界層を持つ実際の流体で発生するのと同じ運動量流量を持つ。^{[ 9 ]}

質量流量に基づく圧縮性流れの運動量厚さの定義は^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]である。}

${\displaystyle \delta _{2}(x)=\int _{0}^{H/2}{{\rho (x,y)u(x,y) \over \rho _{e}u_{e}(x)}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)}}\,\mathrm {d} y\quad .}$

非圧縮性流れの場合、密度は一定であるため、体積流量に基づく定義は次のようになります。

${\displaystyle \delta _{2}(x)=\int _{0}^{H/2}{{u(x,y) \over u_{e}(x)}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)}}\,\mathrm {d} y\quad ,}$

どこ${\displaystyle \rho }$密度と$u_e$これは「漸近」速度です。

乱流境界層の計算には、時間平均された密度と速度が使用されます。

ブラジウス解条件に従って振る舞う平板に沿った層流境界層流れの場合、運動量厚さは^{[ 13 ]である。}

${\displaystyle \delta _{2}(x)\approx 0.664{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\quad ,}$

どこ$u_e \approx u_0$定数である。

運動量厚さは境界層厚さと直接関係はないが、近似的に次のように表される。${\displaystyle \delta _{2}\approx \delta /6}$[ ^{14 ]} 形状係数の計算において重要な役割を果たします^。

エネルギー厚さ^{[ 15 ]}と呼ばれる関連パラメータは、乱流エネルギー分布に関連して言及されることがあるが、ほとんど使用されていない。

境界層流れにおいて、形状係数は層流と乱流を区別するために使用されます。また、層流に対するThwaites法を含む、境界層の様々な近似処理にも現れます。正式な定義は次のとおりです。

${\displaystyle H_{12}(x)={\frac {\delta _{1}(x)}{\delta _{2}(x)}}\quad ,}$

どこ${\displaystyle H_{12}}$は形状係数です。$\displaystyle \delta _{1}}$は変位厚さであり、$\displaystyle \delta _{2}}$は運動量の厚さです。

従来は、${\displaystyle H_{12}}$= 2.59 (ブラジウス境界層) は層流に典型的な値ですが、${\displaystyle H_{12}}$= 1.3 - 1.4 は、層流-乱流遷移付近の乱流に典型的です。^{[ 16 ]} 剥離付近の乱流では、${\displaystyle H_{12}\approx }$2.7. ^{[ 17 ]}層流-遷移流と遷移-乱流を定義する境界線${\displaystyle H_{12}}$その値は多くの要因に依存するため、層流境界層、遷移境界層、乱流境界層を区別するための決定的なパラメータとは必ずしも言えません。

境界層の厚さと形状を記述するための比較的新しい方法^{[ 18 ] [ 19 ]}は、統計的確率関数を特徴付けるためによく使用される数学的モーメント法を使用します。境界層モーメント法は、平板上の層流に対するブラジウス境界層の2階微分のプロットがガウス分布曲線に非常によく似ているという観察から開発されました。2階微分がガウスのような形状であることの意味は、層流の速度プロファイルの形状が2回積分されたガウス関数としてよく近似されるということです。^{[ 20 ]}

モーメント法は、速度プロファイルの単純な積分に基づいており、プロファイル全体を使用するもので、テール領域のいくつかのデータポイントだけを使用するものではありません。$\displaystyle \delta _{99}}$モーメント法では、境界層の厚さと形状を記述するのに役立つ 4 つの新しいパラメータが導入されます。これらの 4 つのパラメータは、平均位置、境界層幅、速度プロファイルの歪度、および速度プロファイルの超過です。歪度と超過は、H ₁₂のような単純な比率パラメータとは異なり、真の形状パラメータです。速度プロファイルの 1 階および 2 階微分にモーメント法を適用すると、たとえば乱流境界層内の粘性力の位置、形状、および厚さを決定する追加のパラメータが生成されます。モーメント法のパラメータのユニークな特性は、これらの速度厚さパラメータの多くが相似スケーリングパラメータでもあることを証明できることです。つまり、一連の速度プロファイルに相似性がある場合、これらの厚さパラメータは相似長さスケーリングパラメータでもある必要があります。 ^{[ 21 ]}

適切にスケーリングされた速度プロファイルとその1次および2次の導関数を適切な積分核に変換することは容易である。

スケーリングされた速度プロファイルに基づく中心モーメントは次のように定義される。

${\displaystyle {\zeta _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(ym(x))^{n}{1 \over \delta _{1}(x)}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad ,}$

どこ${\displaystyle \delta _{1}(x)}$は変位の厚さ、平均位置、${\displaystyle m(x)}$は

${\displaystyle m(x)=\int _{0}^{H/2}{y{1 \over \delta _{1}(x)}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad .}$

境界層プロファイルの導関数のモーメントを壁面からの高さに関して記述することも、いくつかの利点があります。速度プロファイルの一次導関数の中心モーメントは次のように与えられます。

${\displaystyle {\kappa _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(y-{\delta _{1}(x)})^{n}{d\{u(x,y)/u_{e}(x)\} \over dy}\mathrm {d} y}\quad ,}$

ここで、1階微分平均位置は変位厚さである${\displaystyle \delta _{1}(x)}$。

最後に、速度プロファイルの2階微分中心モーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle {\lambda _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(y-{\mu _{1}(x)})^{n}{d^{2}\{-\mu _{1}(x)u(x,y)/u_{e}(x)\} \over dy^{2}}\mathrm {d} y}\quad ,}$

ここで、2階微分平均位置、${\displaystyle \mu _{1}(x)}$は、

${\displaystyle {\mu _{1}(x)}={u_{e}(x) \over \left.{\frac {du(x,y)}{dy}}\right|_{y=0}}={\upsilon u_{e}(x) \over \tau _{w}(x)}\quad ,}$

どこ${\displaystyle \upsilon }$は粘度であり、${\displaystyle \tau _{w}(x)}$は壁面せん断応力です。平均位置、$\displaystyle \mu _{1}}$この場合、u _e ( x ) を 2 階微分曲線の下の面積で割ったものとして正式に定義されます。

上記の式は、層流境界層と乱流境界層の両方に適用できますが、乱流の場合には時間平均速度を使用する必要があります。

モーメントと平均位置が定義されると、境界層の厚さと形状は、境界層の幅（分散）、歪度、および過剰（過剰尖度）の観点から記述できます。実験的には、次のように定義される厚さがわかっています。$\displaystyle \delta _{m}=m+3\sigma _{m}}$どこ${\displaystyle \sigma _{m}=\zeta _{2}^{1/2}}$追跡する$\displaystyle \delta _{99}}$乱流境界層流れには非常に良い。^{[ 22 ]}

境界層運動量バランス方程式からヒントを得て、境界層モーメントの2階微分は、${\displaystyle {\lambda _{n}}}$粘性力が顕著な境界層部分の厚さと形状を追跡します。したがって、モーメント法を使用すると、層流境界層と乱流境界層の内部粘性領域を追跡および定量化できます。${\displaystyle {\lambda _{n}}}$乱流境界層全体の境界層の厚さと形状は、以下の方法で追跡されます。$\displaystyle {\zeta _{n}}}$そして$\displaystyle {\kappa _{n}}}$瞬間。

2 階微分モーメントの計算は、特定の条件下では壁面近傍領域で 2 階微分が正になる可能性があるため問題となる場合があります (一般には負になります)。これは、逆圧力勾配(APG) を伴う内部流れの場合に当てはまるようです。標準確率フレームワークでは被積分関数の値は符号を変えないため、2 階微分の場合にモーメント法を適用すると、モーメントの測定値にバイアスが生じます。簡単な修正^{[ 23 ]}は、問題のある値を除外し、2 階微分の最小値から始まる切り捨てられた 2 階微分プロファイルの新しいモーメントセットを定義することです。幅が、$\displaystyle {\sigma _{v}}}$は最小値を平均位置として使用して計算され、壁面より上で2階微分プロファイルが無視できる点として定義される粘性境界層の厚さは、この修正されたアプローチによって適切に特定できます。

被積分関数の符号が変化しない微分モーメントについては、部分積分を用いてモーメントを変位厚さカーネルに基づく単純な積分に還元することにより、微分を行う必要なくモーメントを計算できます。

${\displaystyle {\alpha _{n}}(x)=\int _{0}^{H/2}{y^{n}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad .}$

例えば、2階微分$\displaystyle \sigma _{v}}$値は${\displaystyle \sigma _{v}={\sqrt {{-\mu _{1}}^{2}+2\mu _{1}\alpha _{0}}}}$そして、1階微分歪度、$\displaystyle \gamma _{1}}$は次のように計算できます。

${\displaystyle \gamma _{1}(x)=\kappa _{3}/\kappa _{2}^{3/2}=(2\delta _{1}^{3}-6\delta _{1}\alpha _{1}+3\alpha _{2})/(2\alpha _{1}-\delta _{1}^{2})^{3/2}\quad .}$

このパラメータは、層流境界層から乱流境界層への遷移に伴う境界層形状の変化を追跡することが示された。^{[ 24 ]}

モーメント、特に高次のモーメントの計算で発生する数値誤差は深刻な問題です。わずかな実験誤差や数値誤差でも、被積分関数の自由流部分が爆発する可能性があります。これらの誤差を軽減するために従える数値計算に関する推奨事項がいくつかあります^{[ 25 ] 。}

外部の境界層流れの場合、さまざまな境界層厚さの位置を推定するという目的を達成するには、モーメント方程式を修正する必要があります。速度プロファイルのピーク挙動は、${\displaystyle \zeta _{n}(x)}$モーメントが問題となる。この問題を回避するために、境界層を粘性領域と慣性領域に分割し、その領域に特有の個別のモーメント積分を用いて境界層の厚さを計算することが提案さ^れている[30]。つまり、層流および乱流境界層領域の内部粘性領域は、修正されたモーメントを用いて追跡することができる。${\displaystyle {\lambda _{n}}}$慣性境界層の厚さは修正された方法で追跡できるモーメント${\displaystyle {\zeta _{n}}}$そして${\displaystyle {\kappa _{n}}}$瞬間。ピークが自由流速に漸近する速度が遅いため、計算された境界層の厚さの値は、通常、境界層が限定されている場合よりもはるかに大きくなります。

修正された${\displaystyle {\zeta _{n}}}$そして${\displaystyle {\kappa _{n}}}$慣性境界層領域のモーメントは、以下の方法で作成されます。1) 下積分限界を速度ピークの位置で置き換える${\displaystyle {\delta _{max}}}$2) 積分上限をhに変更する（ hは自由流の深い位置にある）、3) 速度スケールを${\displaystyle u_{e}}$に${\displaystyle u_{0}}$修正モーメントにおける変位厚さは、修正モーメント積分と同じ積分範囲を使用して計算する必要があります。${\displaystyle \delta _{max}}$平均位置として、修正された3シグマ境界層厚さは${\displaystyle \delta _{m}=\delta _{max}+3\sigma _{i}}$どこ${\displaystyle \sigma _{i}}$修正されたもの${\displaystyle {\zeta _{2}^{1/2}}}$幅。

修正された${\displaystyle {\lambda _{n}}}$2階微分モーメントは、上記で定義したのと同じ積分を使用して計算できますが、${\displaystyle \delta _{max}}$上限積分限界をH /2 に置き換えます。数値誤差を避けるため、特定の計算推奨事項^{[ 31 ]}に従う必要があります。上記の有界ケースにおける APG 有界境界層に関する 2 階微分モーメントに関する同じ懸念は、非有界ケースの修正モーメントにも適用されます。

図3には、翼断面に沿った境界層流れにおける修正モーメントの例が示されている。^{[ 32 ]} この図は、NACA_0012翼断面上の層流に関する2次元シミュレーション^{[ 33 ]}から生成されたものである。この図には、修正された3シグマモーメントが含まれている。${\displaystyle \delta _{m}}$修正3シグマ${\displaystyle \delta _{v}}$、そして${\displaystyle \delta _{99}}$場所。変更された${\displaystyle \delta _{m}/\delta _{99}}$比率の値は311で、修正された${\displaystyle \delta _{v}/\delta _{99}}$比率値は約2で、${\displaystyle u_{max}}$値は9%高い${\displaystyle u_{0}}$値。${\displaystyle \delta _{m}}$そして${\displaystyle \delta _{v}}$と比較して${\displaystyle \delta _{99}}$値は不十分であることを示している${\displaystyle \delta _{99}}$境界層の厚さ。さらに、大きな速度ピークは、内部の有界境界層を外部の非有界境界層と同等に扱うことの問題点を示している。

速度ピークの位置は、${\displaystyle \delta _{max}}$は、境界層が無限に広がる領域の明確な境界位置です。この選択の主な利点は、この位置が粘性領域と慣性領域の境界位置とほぼ一致することです。翼に沿った層流シミュレーションでは、^{[ 35 ]} δ _maxに位置するu _maxは、次のように表される粘性境界層の厚さを近似することがわかっています。 ${\displaystyle \delta _{max}\approx \delta _{v}^{4.3}=\mu _{1}}$+${\displaystyle 4.3\sigma _{v}}$粘性境界層の厚さδvのすぐ上の速度ピークを示しています_。層流と乱流の両方の慣性領域では、${\displaystyle \delta _{max}}$はモーメント積分の便利な下限です。幅が、${\displaystyle {\sigma _{i}}}$は、を使用して計算されます。${\displaystyle \delta _{max}}$平均位置として定義される境界層の厚さ、すなわち壁面上で速度が実質的にu ₀になる点を適切に特定することができる。

ピーク挙動の重要な意味は、厚さの 99%、${\displaystyle \delta _{99}}$は、外部流れ、非境界層の厚さパラメータとしては推奨されません^{[ 36 ]}。これは、もはや重要な境界層の位置に対応しないためです。これは、流れ方向に対して入射角がゼロの非常に薄い平板に沿った非境界層流の場合にのみ有用です。この場合のピークは非常に小さく、速度プロファイルは境界層の場合とよく近似されます。厚い板壁、非ゼロ入射角、またはほとんどの固体表面の周りの流れの場合、形状抵抗による過剰流により、速度プロファイルに壁面近傍のピークが生じ、${\displaystyle \delta _{99}}$役に立たない。

変位厚さ、運動量厚さ、形状係数は、原理的には、境界層が有界な場合について上述したのと同じ方法で計算できます。しかし、境界層が無界な場合、ピーク状になるため、変位厚さと運動量厚さの慣性部分が壁面近傍部分を打ち消す傾向があります。したがって、変位厚さと運動量厚さは、有界の場合と無界の場合で異なる挙動を示します。無界の変位厚さと運動量厚さを、おおよそ有界の場合と同じように動作させるための一つの方法は、スケーリングパラメータとして u _{max を}、積分上限としてδ _{max を使用することです。}