多様性（普遍代数）

普遍代数学において、代数多様体または等式クラスは、与えられたシグネチャを持ち、与えられた恒等式の集合を満たすすべての代数構造のクラスである。例えば、群は代数多様体を形成し、アーベル群、環、モノイドなどもそうである。バーコフの定理によれば、同じシグネチャを持つ代数構造のクラスは、準同型像、部分代数、および（直）積のとり方に関して閉じている場合に限り、多様体である。圏論の文脈では、代数多様体とその準同型性はカテゴリーを形成し、これらは通常、有限代数カテゴリーと呼ばれる。

共多様体とは、与えられた署名の すべての余数的構造のクラスです。

代数多様体は、多項式方程式系の解の集合を意味する代数多様体と混同してはならない。これらは形式的に全く異なっており、その理論に共通点はほとんどない。

「代数多様体」という用語は、普遍代数の一般的な意味での代数を指します。代数のより具体的な意味、つまり体、つまり双線型乗算を備えたベクトル空間上の代数もあります。

シグネチャ(この文脈では)は集合であり、その要素は演算と呼ばれ、各演算にはアリティーと呼ばれる自然数(0、1、2、...)が割り当てられます。シグネチャσと、要素が変数 と呼ばれる集合Vを考えると、ワードは有限のルート付き木であり、各ノードは変数または演算によってラベル付けされます。変数によってラベル付けされたすべてのノードはルートから離れたブランチを持たず、演算oによってラベル付けされたすべてのノードは、 oのアリティーと同じ数のブランチをルートから持ちます。等式法則はそのようなワードのペアです。ワードvとwで構成される公理は、 v = wと書きます。

理論は、シグネチャ、変数の集合、および等式法則の集合から構成されます。どの理論も、次のように代数多様体を与えます。理論 T が与えられた場合、 T の代数は、集合 A と、 T の n 引数の各演算 o に対する関数 o A : A n → A から構成されます。この関数は、各公理v = wと、 Aの_要素 をその^公理内の変数に割り当てる各操作に対して、 vとw を定義するツリーで示されるように、Aの要素に演算を適用することによって得られる等式が成立します。与えられた理論Tの代数のクラスは、代数多様体と呼ばれます。

理論Tの2つの代数、たとえばAとB が与えられたとき、準同型写像とは関数f  : A → Bであって、

${\displaystyle f(o_{A}(a_{1},\dots ,a_{n}))=o_{B}(f(a_{1}),\dots ,f(a_{n}))}$

引数nのすべての演算oに対して。任意の理論は、オブジェクトがその理論の代数であり、射が準同型である カテゴリを与えます。

すべての半群のクラスは、シグネチャ(2)のさまざまな代数を形成します。これは、半群が単一の二項演算を持つことを意味します。十分な定義式は結合法則です。

${\displaystyle x(yz)=(xy)z.}$

群のクラスは、シグネチャ (2,0,1) のさまざまな代数を形成します。3 つの演算はそれぞれ、乗算(2 進数)、恒等(ゼロ、定数)、および反転(単進数) です。結合性、恒等、および反転というよく知られた公理は、1 つの適切な恒等式セットを形成します。

${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$

${\displaystyle 1x=x1=x}$

${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1.}$

環のクラスは、さまざまな代数も形成します。ここでのシグネチャは (2,2,0,0,1) (2 つの二項演算、2 つの定数、および 1 つの単項演算) です。

特定の環R を固定すると、左R加群のクラスを考えることができます。 Rの元とのスカラー乗算を表現するには、 Rの元ごとに 1 つの単項演算が必要です。環が無限であれば、無限の数の演算を持つことになりますが、これは普遍代数の代数構造の定義によって許可されます。また、加群公理を表現するには無限の数の恒等式が必要になりますが、これは代数多様体の定義によって許可されます。したがって、左R加群は代数多様体を形成します。

体は多様な代数を形成しません。すべての非ゼロ要素が可逆であるという要件は、普遍的に満たされる恒等式として表現することはできません (以下を参照)。

相殺半群も代数多様体を形成しません。相殺特性は方程式ではなく、どの方程式の集合とも等しくない含意だからです。ただし、相殺特性を定義する含意は準恒等式の例であるため、準多様体を形成します。

同じシグネチャの代数構造のクラスが与えられた場合、準同型、部分代数、積の概念を定義できます。ギャレット・バーコフは、同じシグネチャの代数構造のクラスが多様体である場合と、それが準同型像、部分代数、任意の積の取得に関して閉じている場合とで同じであることを証明しました。^[1]これは普遍代数にとって根本的に重要な結果であり、バーコフの多様体定理またはHSP定理として知られています。H 、S、Pはそれぞれ、準同型、部分代数、積の演算を表します。

上で述べた同値の 1 つの方向性、つまり、いくつかの恒等式集合を満たす代数のクラスは HSP 演算の下で閉じていなければならないという方向性は、定義から直接導かれます。その逆、つまり HSP 演算の下で閉じている代数のクラスは等式でなければならないということを証明するのは、より困難です。

バーコフの定理の簡単な方向を使用して、たとえば、体の公理は任意の可能な恒等式の集合によって表現できないという上記の主張を検証できます。つまり、体の積は体ではないため、体は多様体を形成しません。

代数Vの多様体の部分多様体は、Vと同じシグネチャを持ち、それ自体が多様体である、つまり、恒等式の集合によって定義される、 Vのサブクラスです。

定数としての恒等式を省略すると（および/または逆演算を省略すると）、すべての群は半群になりますが、シグネチャが異なるため、群のクラスは半群の多様な部分多様体を形成しないことに注意してください。同様に、群である半群のクラスは、半群の多様な部分多様体ではありません。群であるモノイドのクラスには、その部分代数（より正確には、サブモノイド）が含まれ、含まれません。 ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$

しかし、アーベル群のクラスは、符号の変化なしにxy = yx を満たす群から構成されるため、群多様体のサブ多様体です。有限生成アーベル群はサブ多様体を形成しません。有限生成アーベル群の任意の積は有限生成ではないため、バーコフの定理により多様体を形成しないからです。

多様体Vとその準同型をカテゴリとして見ると、Vの部分多様体UはVの完全なサブカテゴリであり、これはU内の任意のオブジェクトa、bに対して、 U内のaからbへの準同型はV内のaからbへの準同型とまったく同じであることを意味します。

Vが非自明な代数多様体、つまりV が複数の元を持つ代数を含むと仮定します。すべての集合Sに対して、多様体V がS上の自由代数 F _{S を}含むことが示せます。これは、次の普遍的性質を満たす入射集合写像i  : S → F _Sが存在することを意味します。V内の任意の代数Aと任意の写像k  : S → Aが与えられたとき、 f ∘ i = kとなる一意のV準同型f  : F _S → Aが存在します。

これは、自由群、自由アーベル群、自由代数、自由加群などの概念を一般化します。その結果、多様体内のすべての代数は自由代数の準同型像になります。

多様体のほかに、圏論者は、記述する代数の種類に関して同等な他の 2 つの枠組み、有限モナドとローヴェア理論を使用します。多様体から有限モナドへは、次のように進むことができます。オブジェクトとして代数のいくつかの多様体を持ち、射として準同型を持つカテゴリは、有限代数カテゴリと呼ばれます。任意の有限代数カテゴリVに対して、忘却関手 G  : V → Setには左随伴 F  : Set → V、つまり各集合にその集合上の自由代数を割り当てる関手があります。この随伴はモナド的であり、つまりカテゴリV は、モナドT = GFに対してEilenberg–Moore カテゴリ Set ^Tと同等です。さらに、モナドT は有限であり、つまりフィルターされた余極限と可換です。

したがって、モナドT  : Set → Set は有限代数カテゴリを回復するのに十分です。実際、有限代数カテゴリは、有限モナドの Eilenberg-Moore カテゴリと同等のカテゴリです。これらは両方とも、Lawvere 理論の代数のカテゴリと同等です。

モナドを扱うと、次のような一般化が可能になります。カテゴリがSetに対してモナドである場合、そのカテゴリは代数カテゴリであると言えます。これは、「有限代数カテゴリ」よりも一般的な概念です。なぜなら、CABA (完全原子ブール代数) やCSLat (完全半格子) などのカテゴリを許容し、そのシグネチャに無限演算が含まれるためです。これら 2 つのケースでは、シグネチャは大きく、つまり、演算のアリティが無制限であるため、セットではなく適切なクラスを形成します。シグマ代数の代数カテゴリにも無限演算がありますが、アリティは可算であるため、シグネチャは小さくなります (セットを形成します)。

すべての有限代数カテゴリは、局所的に表現可能なカテゴリです。

多様体は任意の直積に対して閉じているので、すべての非自明な多様体は無限代数を含む。多様体理論の有限類似体を開発する試みがなされてきた。これは、例えば有限半群の多様体の概念につながった。この種の多様体は有限積のみを使用する。しかし、より一般的な種類の恒等式を使用する。

擬多様体は通常、準同型像、部分代数、有限直積の採り方に関して閉じた、与えられたシグネチャの代数のクラスとして定義される。すべての著者が擬多様体の代数が有限であると仮定しているわけではない。その場合、有限代数の多様体について話すことがある。擬多様体の場合、バーコフの定理の一般的な有限版はないが、多くの場合、より複雑な方程式の概念を導入することで同様の結果を導くことができる。^[2]

擬多様体は有限半群の研究、ひいては形式言語理論において特に重要である。アイレンベルクの定理は多様体定理とも呼ばれ、正規言語の多様体と有限半群の擬多様体との間の自然な対応を記述する。

• 準多様体

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