双測定重力

二計量重力または重重力は、2つの異なるクラスの理論を指します。最初のクラスの理論は、重力（または重力）の修正された数学的理論に依存しており、1つではなく2つの計量テンソルが使用されます。 ^{[1] [2] 2番目の計量は高エネルギーで導入される可能性があり、}光の速度がエネルギーに依存する可能性があることを意味し、可変の光速度モデルが可能になります。

2つの測定基準が動的で相互作用する場合、最初の可能性は2つの重力子モード、つまり質量のあるものと質量のないものを意味する。そのような双測定基準理論は質量のある重力と密接に関係している。 [ ^3]質量のある重力子を含む双測定基準理論はいくつか存在し、例えばネイサン・ローゼン（1909–1995）^{[4] [5] [6]}や、修正ニュートン力学（MOND）の相対論的拡張を伴うモルデハイ・ミルグロムによるものとされる理論がある。 ^[7]最近では、質量のある重力の発展により、双測定基準重力の新しい一貫した理論も生まれている。^[8]一般相対性理論ほど正確に、あるいは一貫して物理的観測を説明できるものはないが、ローゼンの理論はハルス・テイラー連星パルサーの観測と矛盾することが示されている。^[5]これらの理論のいくつかは後世に宇宙の加速膨張をもたらし、したがって暗黒エネルギーの代替となる。^{[9] [10]}双測定重力は、中性子星合体GW170817から放出された重力波の測定値とも矛盾している。^[11]

対照的に、2番目のクラスのバイメトリック重力理論は、質量を持つ重力子に依存せず、ニュートンの法則を修正せず、代わりに宇宙を2つの結合したリーマン計量を持つ多様体として記述し、2つのセクターに存在する物質が重力（および、考慮される位相とニュートン近似が暗黒物質と暗黒エネルギーの代替として宇宙論に負の質量と負のエネルギー状態を導入する場合は反重力）を介して相互作用する。これらの宇宙論モデルのいくつかは、宇宙の放射線優位時代の高エネルギー密度状態で可変の光速度も使用し、インフレーション仮説に挑戦している。^{[12] [13] [14] [15] [16]}

一般相対性理論（GR）では、時空内の2点間の距離は計量テンソルによって与えられると仮定されています。次に、アインシュタインの場の方程式を使用して、エネルギーと運動量の分布に基づいて計量の形状を計算します。

1940年にローゼン^{[1] [2]は}、時空の各点にはリーマン計量テンソルに加えてユークリッド計量テンソル が存在すると提唱した。したがって、時空の各点には2つの計量が存在する。 ${\displaystyle \gamma_{ij}}$${\displaystyle g_{ij}}$

1. ${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$
2. ${\displaystyle d\sigma^{2}=\gamma_{ij}dx^{i}dx^{j}}$

最初の計量テンソル は、時空の幾何学、つまり重力場を記述します。2 番目の計量テンソル は、平坦な時空を指し、慣性力を記述します。とから形成されるクリストッフェル記号は、それぞれ とで表されます。 ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \gamma_{ij}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \gamma_{ij}}$${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$

2 つの接続の差はテンソルなので、次のようにテンソル フィールドを定義できます。 ${\displaystyle \Delta _{jk}^{i}}$

すると、2 種類の共変微分が生じます。に基づく - 微分(セミコロンで表す、例) と に基づく共変微分(スラッシュで表す、例) です。通常の偏微分はコンマで表します (例)。およびをそれぞれ およびから計算されたリーマン曲率テンソルとします。上記のアプローチでは、は平坦な時空計量である ため、曲率テンソルは0 です。${\displaystyle g}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle X_{;a}}$${\displaystyle \gamma_{ij}}$${\displaystyle X_{/a}}$${\displaystyle X_{,a}}$${\displaystyle R_{ijk}^{h}}$${\displaystyle P_{ijk}^{h}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \gamma_{ij}}$${\displaystyle P_{ijk}^{h}}$${\displaystyle \gamma_{ij}}$

簡単な計算でリーマン曲率テンソルが得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{ijk}^{h}&=P_{ijk}^{h}-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^ {h}+\デルタ _{mj}^{h}\デルタ _{ik}^{m}-\デルタ _{mk}^{h}\デルタ_{ij}^{m}\\&=-\デルタ _{ij/k}^{h}+\デルタ _{ik/j}^{h}+\デルタ _{mj}^{h}\デルタ _{ik}^{m}-\デルタ _{mk}^{h}\デルタ _{ij}^{m}\end{aligned}}}$

右辺の各項はテンソルです。一般相対論から、{:} を に、通常の微分を共変微分に、を に、積分測度をに置き換えるだけで、新しい定式化に移行できることがわかります。ここで、 、および です。一度理論に導入すると、多数の新しいテンソルとスカラーを自由に使用できるようになります。アインシュタイン以外の場の方程式を設定することもできます。これらのいくつかが、自然の記述により適している可能性があります。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {g}{\gamma }}}}$${\displaystyle d^{4}x}$${\displaystyle {\sqrt {-\gamma }}\,d^{4}x}$${\displaystyle g=\det(g_{ij})}$${\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{ij})}$${\displaystyle d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}}$${\displaystyle \gamma_{ij}}$

双計量相対論（BR）における測地線方程式は次の形をとる。

式( 1 )と式( 2 )から、慣性場は適切な座標変換によって消滅するため、慣性場を記述しているとみなすことができることが わかる。${\displaystyle \ガンマ}$

テンソルという量であるため、どの座標系からも独立しており、したがって永久重力場を記述するものとみなすことができます。 ${\displaystyle \Delta }$

ローゼン（1973）は、共変性と同値原理を満たすBRを発見した。1966年にローゼンは、一般相対論の枠組みに空間計量を導入することで、重力場のエネルギー運動量密度テンソルが得られるだけでなく、変分原理からこのテンソルを得ることも可能になることを示した。変分原理から導かれるBRの場の方程式は、

どこ

${\displaystyle N_{j}^{i}={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha })_{/\beta }}$

または

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{j}^{i}&={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }\left\{\left(g^{hi}g_{hj,\alpha }\right)_{,\beta }-\left(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}\right)_{,\beta }-\gamma ^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{j\alpha }^{i}\right)_{,\beta }+\Gamma _{\lambda \beta }^{i}\left[g^{h\lambda }g_{hj,\alpha }-g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }\right]-\right.\\&\qquad \Gamma _{j\beta }^{\lambda }\left[g^{hi}g_{h\lambda ,\alpha }-g^{hi}g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}\right]+\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }\left.\left[g^{hi}g_{hj,\lambda }-g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}\right]\right\}\end{aligned}}}$

と

${\displaystyle N=g^{ij}N_{ij}}$、${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {g}{\gamma }}}}$

エネルギー運動量テンソルです 。${\displaystyle T_{j}^{i}}$

変分原理から次の関係も導かれる。

${\displaystyle T_{j;i}^{i}=0}$。

したがって（３）

${\displaystyle K_{j;i}^{i}=0}$、

これは、BRでは、重力場内の試験粒子が測地線上を移動することを意味する。${\displaystyle g_{ij}.}$

^{ローゼンは1978年[17]}と1980年^[18]に追加の論文を発表して、双対比重力理論の改良を続け、「宇宙における基本的な静止系の存在を考慮に入れるように一般相対性理論を修正することで、一般相対性理論で生じる特異点を除去する」試みを行った。1985年^{[19]にローゼンは再び一般相対性理論から特異点と擬似テンソルを除去しようとした。1989年には3月[20]}と11月^[21]の2度の論文発表で、ローゼンは一般相対性理論の双対比場における素粒子の概念をさらに発展させた。

BR 理論と GR 理論は次の場合に異なることがわかります。

• 電磁波の伝播
• 高密度星の外部磁場
• 強い静的重力場を伝播する強力な重力波の挙動。

ローゼンの理論における重力放射の予測は、1992年以来、ハルス・テイラー連星パルサーの観測結果と矛盾していることが示されてきた。^[5]

2010 年以降、クラウディア・デ・ラム、グレゴリー・ガバダゼ、アンドリュー・トーリー (dRGT) による健全な大質量重力理論の開発を受けて、二重重力への関心が再燃しています。^[22]大質量重力は、計量の非自明な相互作用項は 2 番目の計量の助けを借りてのみ記述できるという意味で二重計量理論です。1 つの計量を使用して記述できる唯一の非微分項は宇宙定数です。dRGT 理論では、非動的「参照計量」が導入され、相互作用項は の行列平方根から構築されます。 ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$${\displaystyle f_{\mu \nu}}$${\displaystyle g^{-1}f}$

dRGT大質量重力では、参照計量を手動で指定する必要があります。参照計量にアインシュタイン-ヒルベルト項を与えることもできますが、その場合、は選択されず、代わりに とおそらく物質に応じて動的に進化します。この大質量重重力は、 dRGT大質量重力の拡張としてファワド・ハッサンとレイチェル・ローゼンによって導入されました。 ^{[3] [23]}${\displaystyle f_{\mu \nu}}$${\displaystyle g_{\mu \nu}}$

dRGT理論は、2つの動的計量を持つ理論を開発する上で極めて重要である。なぜなら、一般的な双計量理論は、質量を持つ重力子の6番目の偏極である可能性のあるBoulware-Deserゴーストに悩まされているからである。 ^[24] dRGTポテンシャルは、このゴーストを非動的にするために特別に構築されており、2番目の計量の運動項がアインシュタイン-ヒルベルト形式である限り、結果として得られる理論はゴーストフリーのままである。^[3]

ゴーストフリーの質量重重力の作用は[25]で与えられる^。

${\displaystyle S=-{\frac {M_{g}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}R(g)-{\frac {M_{f}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-f}}R(f)+m^{2}M_{g}^{2}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\displaystyle \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}e_{n}(\mathbb {X} )+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i}).}$

標準的な一般相対性理論と同様に、計量には、リッチ スカラーに比例するアインシュタイン–ヒルベルトの運動項と、標準モデル のようなすべての物質場を表す物質ラグランジアン への最小結合があります。のアインシュタイン–ヒルベルト項も与えられています。各計量には独自のプランク質量があり、それぞれ、および で表されます。相互作用ポテンシャルは、dRGT の巨大重力の場合と同じです。 は、無次元結合定数であり、(または具体的には) は、巨大重力子の質量に関連しています。この理論は、質量のない重力子と質量のある重力子に対応する 7 つの自由度を伝播します (ただし、巨大状態と質量のない状態は、どちらの計量とも一致しません)。 ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R(g)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }}$${\displaystyle \Phi _{i}}$${\displaystyle f_{\mu \nu }}$${\displaystyle M_{g}}$${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \beta _{i}^{1/2}m}$

相互作用ポテンシャルは、それぞれ無次元結合定数またはによってパラメータ化された行列またはの固有値の基本対称多項式 から構築されます。ここでは、行列 の行列平方根です。インデックス表記で書かれ、関係によって定義されます。 ${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f}}}$${\displaystyle \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f}}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle {\sqrt {g^{-1}f}}}$${\displaystyle g^{-1}f}$${\displaystyle \mathbb {X} }$

${\displaystyle X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }.}$

は次の ように直接書くことができる。${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle \mathbb {X} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )&=1,\\e_{1}(\mathbb {X} )&=[\mathbb {X} ],\\e_{2}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{2}}\left([\mathbb {X} ]^{2}-[\mathbb {X} ^{2}]\right),\\e_{3}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{6}}\left([\mathbb {X} ]^{3}-3[\mathbb {X} ][\mathbb {X} ^{2}]+2[\mathbb {X} ^{3}]\right),\\e_{4}(\mathbb {X} )&=\operatorname {det} \mathbb {X} ,\end{aligned}}}$

ここで、括弧はトレース、を示します。 のそれぞれの項の特定の反対称の組み合わせが、Boulware-Deser ゴーストを非動的にする原因です。 ${\displaystyle [\mathbb {X} ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }}$${\displaystyle e_{n}}$

• 一般相対性理論の代替
• DGPモデル
• スカラー-テンソル理論