バルビエの定理

幾何学において、バルビエの定理は、その正確な形状に関係なく、一定幅の曲線の 周囲は幅のπ倍になるというものです。 ^[1]この定理は、 1860年にジョセフ・エミール・バルビエによって初めて発表されました。^[2]

一定幅の曲線の最もよく知られた例は、円とルーローの三角形です。円の場合、幅は直径と同じです。つまり、幅wの円の周囲は π wです。幅wのルーローの三角形は、半径wの円弧3つで構成されます。これらの弧はそれぞれ中心角π /3 であるため、幅wのルーローの三角形の周囲は、半径wの円の周囲の半分に等しく、したがってπ wに等しくなります。ルーローの多角形などの他の単純な例を同様に分析しても同じ答えが得られます。

定理の証明の一つはミンコフスキー和の性質を利用する。Kが一定幅wの物体であれば、 Kとその180°回転のミンコフスキー和は半径w、周囲長2πwの円板となる。ミンコフスキー和は凸体の周囲に線形に作用するため、Kの周囲長はこの円板の周囲の半分、つまり定理が述べるようにπwでなければならない。 ^[3]

あるいは、この定理は積分幾何学におけるクロフトンの公式から直接導かれる。この公式によれば、曲線の長さは、曲線を横切る直線の集合の測度にその交差回数を掛けたものに等しい。同じ一定幅を持つ任意の2つの曲線は、同じ測度を持つ直線の集合によって横切られるため、同じ長さになる。歴史的には、クロフトンはバルビエの定理よりも後に、バルビエの定理とは独立してこの公式を導出した。^[4]

この定理の基本的な確率的証明はBuffon's noodleで見つけることができます。

一定幅の面に対するバルビエの定理の類似は誤りである。特に、単位球の表面積は であるのに対し、同じ一定幅のルーロー三角形の回転面の表面積は である。^[5]${\displaystyle 4\pi \approx 12.566}$${\displaystyle 8\pi -{\tfrac {4}{3}}\pi ^{2}\approx 11.973}$

代わりに、バルビエの定理は、一定の明るさの物体、つまり、すべての 2 次元投影が同じ面積を持つ 3 次元凸集合に一般化されます。これらはすべて、同じ投影面積の球と同じ表面積を持ちます。

そして一般に、が の凸部分集合であり、 に対するすべての ( n −1) 次元射影が における単位球の面積を持つ場合、 の表面積はにおける単位球の表面積に等しい。これはクロフトンの公式 の一般形に従う。^[6]${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• 一定幅の曲線の面積を定めるブラシュケ・ルベーグ定理と等周不等式