常に明るい体

凸幾何学において、等輝度物体とは、その 2 次元投影の面積がすべて等しい3 次元凸集合のことです。球は等輝度物体ですが、他にも等輝度物体は存在します。等輝度物体は、等幅曲線の一般化ですが、別の一般化である等幅面とは異なります。

この名前は、物体を等方性の輝度を持つ輝く物体として解釈することに由来しており、どの角度からでも物体を撮影した写真（焦点は無限遠）には、写真に当たる光の総エネルギーが同じになります。

物体が一定の明るさを持つためには、平行な支持面の反対側の接点のペアにおける逆ガウス曲率の合計がほぼ等しい必要がある。^{[1] [2]}

バルビエの定理の類似物によれば、同じ投影面積を持つ一定の明るさのすべての物体は、同じ表面積も持つ。[ ^1]これはクロフトンの公式によって証明できる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {A/\pi }}}$

球体ではない、最初に知られている等輝度物体は、1915 年にヴィルヘルム ブラシュケによって構築されました。その境界は、曲がった三角形の回転面です (ただし、ルーローの三角形ではありません)。円上と、回転軸が交差する 1 つの孤立点を除いて滑らかです。円は、異なる形状の 2 つの部分を互いに分離します。これらの 2 つの部分のうちの 1 つは球状の帽子で、もう 1 つは、尖った先端を持つ一定のガウス曲率の表面であるフットボールの一部を形成します。この物体の平行な支持平面のペアは、1 つの平面が特異点 (逆曲率が 0) に接し、もう 1 つの平面が、同じ曲率を持つこれらの 2 つの部分のいずれかに接しています。^{[1] [2]}等輝度回転体のうち、ブラシュケの形状 (ブラシュケ - ファイアー体とも呼ばれる) は体積が最小で、球は体積が最大です。^[3]

追加の例は、一定の明るさを持つ複数の物体を、一定の明るさを持つという性質を保持する凸物体に対する演算であるブラシュケ和を使用して組み合わせることによって得ることができる。 ^[3]

ユークリッド平面上の一定幅の曲線にも同様の特質があり、その1次元投影はすべて等しい長さを持つ。この意味で、一定輝度の物体は、一定幅の面とは異なり、この2次元概念の3次元一般化である。^[1]

ブラシュケの研究以来、明るさと幅が一定である唯一の形状は球体であると予想されてきた。これは1926年に中島によって明示的に定式化され、中島の問題として知られるようになった。中島自身は、形状の境界が滑らかであるという追加の仮定の下で予想を証明した。完全な予想の証明は、2006年にラルフ・ハワードによって発表された。^{[1] [4] [5]}