モジュールの分解

抽象代数学において、加群の分解とは、加群を複数の加群の直和として表す方法である。分解の型は、加群を定義または特徴づけるためによく用いられる。例えば、半単純加群とは、単純加群への分解を持つ加群のことである。環が与えられた場合、その環上の加群の分解の型を用いて、環を定義または特徴づけることもできる。環が半単純であるのは、その環上のすべての加群が半単純加群である場合に限る。

分解不可能な加群とは、2 つの非零部分加群の直和ではない加群のことです。東谷の定理は、加群が局所自己準同型環を持つ加群に分解できる場合、分解不可能な加群へのすべての分解は互いに同値であると述べています。特に群論においては、この定理の特殊なケースとしてクルル・シュミットの定理が知られています。

加群の分解の特殊なケースとして、環の分解があります。例えば、環が半単純であるのは、それが除法環上の行列環の直和（実際には積）である場合のみです（この観察は、アルティン・ウェダーバーン定理として知られています）。

加群を部分加群に直接和分解することは、加群の自己準同型環において恒等写像に和をとる直交冪等元を与えることと同じである。^{[ 1 ]}実際、${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$すると、各${\displaystyle i\in I}$線形自己準同型${\displaystyle e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M}$自然射影に続いて自然包含によって与えられるは冪等である。これらは明らかに互いに直交している（${\displaystyle e_{i}e_{j}=0}$のために${\displaystyle i\neq j}$）そしてそれらは同一性マップに集約されます。

${\displaystyle 1_{\operatorname {M} }=\sum _{i\in I}e_{i}}$

自己準同型として（ここでは、モジュールの各要素で有限和となるため、総和は適切に定義されます）。逆に、直交冪等元の各集合は${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$有限個だけ${\displaystyle e_{i}(x)}$それぞれがゼロではない${\displaystyle x\in M}$そして$\sum e_{i}=1_{M}$直接和分解を決定するには、${\displaystyle M_{i}}$イメージになる${\displaystyle e_{i}}$。

この事実は、環の可能な分解にすでにいくつかの制約を課している。${\displaystyle R}$分解があると仮定します

${\displaystyle {}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}}$

の${\displaystyle R}$左モジュールとしてそれ自身の上に、${\displaystyle I_{a}}$左部分加群、すなわち左イデアルです。各自己準同型は${\displaystyle {}_{R}R\to {}_{R}R}$Rの要素による右乗算と同一視できる。したがって、${\displaystyle I_{a}=Re_{a}}$どこ${\displaystyle e_{a}}$冪等関数である${\displaystyle \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R}$[ ^{2 ]冪等自己準同型の和は、} Rの単位の分解に対応する。${\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}$これは必然的に有限和であり、特に、${\displaystyle A}$有限集合でなければならない。

例えば、${\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}$、可除環D上のn × n行列の環。${\displaystyle {}_{R}R}$n個のコピーの直接合計です${\displaystyle D^{n}}$列は、各列が単純な左R部分加群、言い換えれば最小左イデアルである。^{[ 3 ]}

Rを環とする。Rを自身上の左加群として（必ず有限個の）分解できると仮定する。

${\displaystyle {}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}}$

二面的な理想へ${\displaystyle R_{i}}$Rの。上記のとおり、${\displaystyle R_{i}=Re_{i}}$いくつかの直交冪等元に対して${\displaystyle e_{i}}$そのため${\displaystyle \textstyle {1=\sum _{1}^{n}e_{i}}}$。 以来${\displaystyle R_{i}}$理想的です、${\displaystyle e_{i}R\subset R_{i}}$など${\displaystyle e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0}$のために${\displaystyle i\neq j}$。次に、各iについて、

${\displaystyle e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.}$

つまり、${\displaystyle e_{i}}$は中心に位置する。すなわち、それらは中心冪等元である。^{[ 4 ]}明らかに、この議論は逆転させることができ、したがって、イデアルへの直接和分解と、合計が1になる直交中心冪等元との間には1対1の対応関係がある。また、各${\displaystyle R_{i}}$それ自体がリングであり、${\displaystyle e_{i}}$、そして、環として、Rは積環である。${\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{n}.}$

例えば、もう一度${\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}$この環は単純環であり、特に、両側イデアルへの非自明な分解は存在しない。

研究されてきた直和分解にはいくつかの種類がある。

• 半単純分解：単純加群の直和。
• 分解不可能な分解：分解不可能な加群の直和。
• 局所自己準同型環による分解^{[ 5 ]}（アズマヤの定理参照）：自己準同型環が局所環である加群の直和（各要素xに対して、xまたは1- xが単位元である場合、環は局所的である）。
• 直列分解：単直列モジュールの直和（部分モジュールの格子が有限鎖である場合、モジュールは単直列である^{[ 6 ]}）。

単純加群は分解不可能であるため、半単純分解は分解不可能な分解である（ただし、逆は成り立たない）。加群の自己準同型環が局所的である場合、特に、非自明な冪等元を持つことはできない。つまり、加群は分解不可能である。したがって、局所的な自己準同型環を持つ分解は、分解不可能な分解である。

直接項は、分解不可能な補項を持つ場合、最大であると言われる。${\displaystyle \textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}}$Mの各最大直和因子Lに対して、部分集合が存在する場合、最大直和因子を補完すると言われる。${\displaystyle J\subset I}$そのため

${\displaystyle M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.}$^{[ 7 ]}

2つの分解${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}}$全単射が存在する場合、それらは同値であると言われる。${\displaystyle \varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J}$各${\displaystyle i\in I}$、${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}}$[ ^{7 ]}加群が最大直和因子を補完する分解不可能な分解を許容する場合、加群の任意の 2 つの分解不可能な分解は同値である^{。[ 8 ]}

最も単純な形では、東谷の定理は次のように述べている。^{[ 9 ]}分解が与えられた場合${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$各自己準同型環が${\displaystyle M_{i}}$が局所的である（したがって分解は分解不可能である）、Mの各分解不可能な分解は、この与えられた分解と等価である。定理のより正確なバージョンは次のとおりである。^{[ 10 ]}それでもそのような分解が与えられた場合、${\displaystyle M=N\oplus K}$、 それから

1. ゼロでない場合、Nは分解不可能な直和因子を含みます。
2. もし${\displaystyle N}$は分解不可能であり、その自己準同型環は局所的である^{[ 11 ]}。${\displaystyle K}$与えられた分解によって補完される。

   ${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$など${\displaystyle M_{j}\simeq N}$一部の人にとって${\displaystyle j\in I}$、

3. 各${\displaystyle i\in I}$直接の項が存在する${\displaystyle N'}$の${\displaystyle N}$そして${\displaystyle K'}$の${\displaystyle K}$そのため${\displaystyle M=M_{i}\oplus N'\oplus K'}$。

有限長の既約加群の自己準同型環は局所的である（例えば、フィッティングの補題による）ので、クルル・シュミットの定理の設定にアズマヤの定理が適用される。実際、 M が有限長の加群である場合、長さに関する帰納法により、有限の既約分解を持つ。${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$これは局所自己準同型環を持つ分解です。さて、分解不可能な分解が与えられたとしましょう。${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$すると、それは最初のものと同等でなければならない。${\displaystyle m=n}$そして${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}}$ある順列に対して${\displaystyle \sigma }$の${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$より正確には、${\displaystyle N_{1}}$分解不可能である、${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}$一部の人にとって${\displaystyle i_{1}}$すると、${\displaystyle N_{2}}$分解不可能である、${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$などなど。つまり、各和の補集合。${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$いくつかの直接和として考えることができる${\displaystyle M_{i}}$の。

もう一つの応用例は、次の記述である（これは、射影加群に関するカプランスキーの定理の証明における重要なステップである）。

• 要素が与えられた場合${\displaystyle x\in N}$直接の項が存在する${\displaystyle H}$の${\displaystyle N}$そしてその部分集合${\displaystyle J\subset I}$そのため${\displaystyle x\in H}$そして${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$。

これを確認するには、有限集合を選択してください。${\displaystyle F\subset I}$そのため${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$.それから、書く${\displaystyle M=N\oplus L}$東谷の定理によれば、${\displaystyle M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}}$直接命令を伴う${\displaystyle N_{1},L_{1}}$の${\displaystyle N,L}$そして、モジュラー法則により、${\displaystyle N=H\oplus N_{1}}$と${\displaystyle H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N}$すると、${\displaystyle L_{1}}$は直接の命令です${\displaystyle L}$書くことができる${\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{1}'}$その後${\displaystyle \oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'}$これは、Fが有限であることから、${\displaystyle H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}}$あるJに対して、東谷の定理を繰り返し適用することによって。

東谷の定理の設定において、さらに、各${\displaystyle M_{i}}$が可算生成である場合、以下の改良が考えられます（元々はクローリー＝ヨンソンによるもので、後にウォーフィールドによるもの）。${\displaystyle N}$は同型である${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$ある部分集合に対して${\displaystyle J\subset I}$[ ^{12 ] （}ある意味では、これはカプランスキーの定理の拡張であり、定理の証明で使用された2つの補題によって証明される。）（ファッキーニ 1998 ）によれば、仮定「${\displaystyle M_{i}}$「可算に生成される」は省略できます。つまり、この改良版は一般的に正しいです。

環の分解に関して、最も基本的でありながら重要な観察事項は、ウェダーバーン・アーティン定理として知られており、次のとおりである。環Rが与えられたとき、次のものは同値である。

1. Rは半単純環である。すなわち、${\displaystyle {}_{R}R}$これは半単純左加群である。
2. ${\displaystyle R\cong \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(D_{i})}$分割環用${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{r}}$、 どこ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(D_{i})}$は、 の要素を持つn行n行列の環を表す。${\displaystyle D_{i}}$、および正の整数${\displaystyle r}$分割リング${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{r}}$、および正の整数${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{r}}$Rによって決定される（後者2つは順列を除いて）
3. R上のすべての左加群は半単純加群である。

1を表示する。${\displaystyle \Rightarrow }$2.、まず、${\displaystyle R}$が半単純であれば、左の同型写像が存在する。${\displaystyle R}$-モジュール${\textstyle {}_{R}R\cong \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}$どこ${\displaystyle I_{i}}$これらは互いに同型でない最小左イデアルである。次に、自己準同型が右から作用するという観点から、

${\displaystyle R\cong \operatorname {End} ({}_{R}R)\cong \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$

それぞれ${\displaystyle \operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$マトリックスリングとして見ることができる ${\displaystyle D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})}$は、シューアの補題により除法環である。 2. の分解は、最小左イデアル = 単純左部分加群への分解と等価であるため、逆も成り立つ。 1. の等価性。${\displaystyle \Leftrightarrow }$3. は、すべてのモジュールが自由モジュールの商であり、半単純モジュールの商は半単純であるため成り立つ。

• 純粋単射モジュール

• アンダーソン、フランク W.、フラー、ケント R. (1992)、「環と加群の圏」、Graduate Texts in Mathematics、第 13 巻 (第 2 版)、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp.  x+376、doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9、ISBN 0-387-97845-3MR 1245487​ 
• Frank W. Anderson、「非可換環に関する講義」、Wayback Machineに2021年6月13日にアーカイブ済み、オレゴン大学、2002年秋。
• ファッキーニ、アルベルト（1998年6月16日）。モジュール理論：いくつかのクラスのモジュールにおける自己準同型環と直和分解。シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。ISBN 978-3-7643-5908-9。
• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、『基礎代数学』第2巻 （第2 版）、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-47187-7
• Y. Lam、「Bassの環論と射影加群に関する研究」[MR 1732042]
• プロチェージ、クラウディオ（2007）。リー群 ：不変量と表現によるアプローチ。ニューヨーク：スプリンガー。ISBN 9780387260402。
• R. ウォーフィールド: 交換環と加群の分解、Math. Annalen 199(1972), 31–36.