楕円グラフ

楕円グラフは楕円の形を生成する機構です。楕円グラフの一般的な形式の 1 つは、アルキメデスのトランメルとして知られています。^[1]これは、垂直なチャネルまたはレールに制限された 2 つのシャトルと、ロッドに沿った調整可能な位置にあるピボットによってシャトルに接続されたロッドで構成されています。

シャトルがそれぞれのチャネルに沿って前後に移動するにつれて、ロッド上のすべての点が楕円軌道上を移動します。ロッドの動きは楕円運動と呼ばれます。楕円の半軸aとbの長さは、ロッド上の点から 2 つのピボットのそれぞれまでの距離に等しくなります。

ピボットによって描かれる直線は楕円の特殊なケースであり、一方の軸の長さはピボット間の距離の 2 倍で、もう一方の軸の長さは 0 です。2 つのピボットによって定義される直径を持つ円上のすべての点は、このような直線上を往復します。この円は、トゥシカップルの小さい方の円に対応します。

ピボット間の中間点は、チャネルが交差する点の周りを円を描いて周回します。この円も楕円の特殊なケースです。ここでは、軸の長さは同じです。円の直径は、ピボット間の距離に等しくなります。軌道の周りの移動方向は、トラメルの回転方向と逆になります。したがって、チャネルの交差点を中心とするクランクを使用して、トラメルを中間点で噛み合わせて駆動する場合、クランクピンとトラメルの回転は等しく反対方向になり、実際の用途では余分な摩擦と摩耗の加速が発生します。これは、クランクのストロークがピボットの移動の 4 分の 1 しかないため、大きな力によってさらに悪化します。

おもちゃやノベルティアイテムとして作られたバージョンもあります（ケンタッキー・ドゥナッシング、ナッシング・グラインダー、ドゥナッシング・マシーン、スモーク・グラインダー、またはブルシット・グラインダーという名前で販売されています）。これらのおもちゃでは、製図器具がクランクハンドルに置き換えられ、ロッドに沿ったスライドシャトルの位置は通常固定されています。

数学

コンセプト

楕円グラフとしてのアルキメデスのトランメル
図
アルキメデスのトラメルに沿った点の軌跡。緑の円はその中点の軌跡です。SVGファイルでは、図の上でポインタを動かすとトラメルが移動します。
3つのスライダーを備えたアルキメデスのトランメル

$C を$ ロッドの外側の端とし、A $、$ B $を$ スライダーのピボットとする。 $AB$ と $BC をそれぞれ$ $Aから$ $B$ までの距離と $Bから$ $C$ までの距離とする。スライダー $A$ と $B がそれぞれ$ $y$ と $x$ 座標軸に沿って動くと仮定する。ロッドがx軸と角度 $θ をなすとき、点$ $C$ の座標は次のように表される。

{\begin{aligned}x&=(AB+BC)\cos \theta \,\\y&=BC\sin \theta \,\end{aligned}}

これらは、標準位置にある楕円の標準的なパラメトリック方程式の形をしています。さらに次の方程式があります。

{\frac {x^{2}}{(AB+BC)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(BC)^{2}}}=1

即時でもあります。

アルキメデスのトラメルは、 2つのスライダーと2つのピボットを備えた4リンク機構の例であり、より一般的な斜めトラメルの特殊なケースです。ピボットを拘束する軸は垂直である必要はなく、点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ は三角形を形成できます。結果として得られる $C$ の軌跡は依然として楕円です。^[2]

楕円グラフ

楕円グラフは、木材やその他のシート材料などで楕円を描く、切る、または機械加工することを目的としたアルキメデスの道具です。楕円グラフには、適切な器具 (鉛筆、ナイフ、ルーターなど) がロッドに取り付けられています。通常、距離 aとb は調整可能なので、楕円のサイズと形状を変えることができます。

このような楕円グラフの歴史は定かではないが、プロクロス、あるいはアルキメデスの時代にまで遡ると考えられている。^[2]

参照

注記

^ シュワルツマン、スティーブン（1996）。数学の言葉。アメリカ数学協会。ISBN 0-88385-511-9。（限定オンラインコピー、223ページ、Googleブックス）
^ ab Wetzel, John E. (2010年2月). 「古代の楕円軌跡」. American Mathematical Monthly . 117 (2): 161–167. doi :10.4169/000298910x476068. JSTOR 10. S2CID 117701083.

参考文献

JW Downs:実用円錐断面: 楕円、放物線、双曲線の幾何学的特性。Courier Dover 2003、ISBN 978-0-486-42876-5、pp. 4–5 (限定オンラインコピー、p. 4、Google Books )
II Artobolevskii平面曲線の生成メカニズム. Pergamon Press 1964, ISBN 978-1483120003 .

外部リンク

さまざまなトランメル設計の実際の動作を示すビデオ
木材に楕円形を切る
ケンタッキー州の何もしない人の写真
レゴブロックで作られた何もしないビデオ
「アルキメデスの不規則なトランメル」 2012 年 2 月 20 日にWayback Machineにアーカイブされました。一般化されたトランメルの調査。
小さな楕円形を可能にする楕円形切断ガイドに関する米国特許4306598
Mathologerによる Nothing Grinder の秘密 YouTube 動画

[1] シュワルツマン、スティーブン（1996）。数学の言葉。アメリカ数学協会。ISBN 0-88385-511-9。（限定オンラインコピー、223ページ、Googleブックス）

[AMM-2] Wetzel, John E. (2010年2月). 「古代の楕円軌跡」. American Mathematical Monthly . 117 (2): 161–167. doi :10.4169/000298910x476068. JSTOR 10. S2CID 117701083.

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