与えられた曲線と固定点から構成される平面曲線
ユークリッド幾何学 では、 平面曲線 C と与えられた固定点 O について 、 曲線の ペダル方程式は r と p の関係です。ここで、 r は O から C 上の点までの 距離 、 p は O からその点における C の 接線 までの 垂線の距離 です 。点 Oは ペダル点 と呼ばれ 、値 r と p は曲線とペダル点に対する点の ペダル座標 と呼ばれることもあります。また、 Oから 法線 p c ( 反ペダル座標 )まで の距離を測定することも有用です が、これは独立した量ではなく、 ( r , p ) と次のように関連しています。
p
c
:=
r
2
−
p
2
。
{\textstyle p_{c}:={\sqrt {r^{2}-p^{2}}}.}
いくつかの曲線は特に単純なペダル方程式を持っており、曲線のペダル方程式を知ることで、曲率 などの特定のプロパティの計算が簡素化される場合があります。これらの座標は、 古典力学 や 天体力学 における特定のタイプの力の問題を解決するのにも適しています 。
方程式
直交座標 C は 直交座標で f ( x , y )=0で 与えられ 、 Oを 原点とすると、点( x , y )のペダル座標は次のように与えられる: [1]
r =
x
2
+
ええ
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
p =
x
∂ ふ
∂ x
+ ええ
∂ ふ
∂ ええ
（
∂ ふ
∂ x
）
2
+
（
∂ ふ
∂ ええ
）
2
。
{\displaystyle p={\frac {x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}}.}
これらの方程式と曲線の方程式から
x と y を 消去すると、ペダル方程式が求められます。
p の表現は 、曲線の方程式を 同次座標 で変数 zを 導入して書き表すと簡略化でき、曲線の方程式は g ( x , y , z ) = 0となる 。p の値は [2] で与えられる。
p =
∂ グ
∂ ず
（
∂ グ
∂ x
）
2
+
（
∂ グ
∂ ええ
）
2
{\displaystyle p={\frac {\frac {\partial g}{\partial z}}{\sqrt {\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial g}{\partial y}}\right)^{2}}}}}
ここで結果は z =1
で評価される。
極座標 Cが 極座標 で r = f ( θ)
と与えられると、
p = r 罪 ϕ
{\displaystyle p=r\sin\phi}
ここで、 極 接線角は 次のように与えられる。
ϕ
{\displaystyle \phi}
r =
d r
d θ
日焼け ϕ 。
{\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \phi .}
これらの式からθを消去することでペダル方程式を求めることができる。 [3]
あるいは、上記から次のことがわかる。
|
d r
d θ
|
=
r
p
c
p
、
{\displaystyle \left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|={\frac {rp_{c}}{p}},}
ここで、 は 「対比」座標、つまり法線までの距離です。これは、曲線が次の形式の極座標の自律微分方程式を満たすことを意味します。
p
c
:=
r
2
−
p
2
{\displaystyle p_{c}:={\sqrt {r^{2}-p^{2}}}}
ふ
（
r 、
|
d r
d θ
|
）
= 0 、
{\displaystyle f\left(r,\left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|\right)=0,}
そのペダル方程式は
ふ
（
r 、
r
p
c
p
）
= 0.
{\displaystyle f\left(r,{\frac {rp_{c}}{p}}\right)=0.}
例 例として、螺旋角度 α の対数螺旋を考えます。
r = 1つの
e
コス α
罪 α
θ
。
{\displaystyle r=ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\theta }.}
について微分すると 、
θ
{\displaystyle \theta}
d r
d θ
=
コス α
罪 α
1つの
e
コス α
罪 α
θ
=
コス α
罪 α
r 、
{\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha } }\theta }={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}r,}
したがって
|
d r
d θ
|
=
|
コス α
罪 α
|
r 、
{\displaystyle \left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r,}
そしてペダル座標では次のようになる。
r p
p
c
=
|
コス α
罪 α
|
r 、 ⇒
|
罪 α
|
p
c
=
|
コス α
|
p 、
{\displaystyle {\frac {r}{p}}p_{c}=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r,\qquad \Rightarrow \qquad |\sin \alpha |p_{c}=|\cos \alpha |p,}
あるいは、私たちが得た
事実を使って
p
c
2
=
r
2
−
p
2
{\displaystyle p_{c}^{2}=r^{2}-p^{2}}
p =
|
罪 α
|
r 。
{\displaystyle p=|\sin \alpha |r.}
このアプローチは、次のように任意の次数の自律微分方程式を含むように一般化することができる。 [4] 極座標における
n 次自律微分方程式（ ） の解である 曲線 C
ん ≥ 1
{\displaystyle n\geq 1}
ふ
（
r 、
|
r
θ
′
|
、
r
θ
″
、
|
r
θ
‴
|
… 、
r
θ
（ 2 じゅう ）
、
|
r
θ
（ 2 じゅう + 1 ）
|
、 … 、
r
θ
（ ん ）
）
= 0 、
{\displaystyle f\left(r,|r'_{\theta }|,r''_{\theta },|r'''_{\theta }|\dots ,r_{\theta }^{(2j)},|r_{\theta }^{(2j+1)}|,\dots ,r_{\theta }^{(n)}\right)=0,}
ペダル座標で与えられた曲線の
ペダル曲線 である。
ふ （ p 、
p
c
、
p
c
p
c
′
、
p
c
（
p
c
p
c
′
） ′
、 … 、 （
p
c
∂
p
）
ん
p ） = 0 、
{\displaystyle f(p,p_{c},p_{c}p_{c}',p_{c}(p_{c}p_{c}')',\dots ,(p_{c}\partial _{p})^{n}p)=0,}
ここで微分は に関して行われます 。
p
{\displaystyle p}
力の問題 古典力学のいくつかの力の問題に対する解は、ペダル座標で驚くほど簡単に得られます。
次のような動的システムを考えてみましょう。
x ¨
=
ふ
′
（
|
x
|
2
） x + 2
グ
′
（
|
x
|
2
）
x ˙
⊥
、
{\displaystyle {\ddot {x}}=F^{\prime }(|x|^{2})x+2G^{\prime }(|x|^{2}){\dot {x}} ^{\perp },}
中心ポテンシャルとローレンツ型ポテンシャル が存在する平面内でのテスト粒子（位置 と速度） の進化を記述します 。量：
x
{\displaystyle x}
x ˙
{\displaystyle {\dot {x}}}
ふ
{\displaystyle F}
グ
{\displaystyle G}
ら = x ⋅
x ˙
⊥
+ グ （
|
x
|
2
） 、 c =
|
x ˙
|
2
− ふ （
|
x
|
2
） 、
{\displaystyle L=x\cdot {\dot {x}}^{\perp }+G(|x|^{2}),\qquad c=|{\dot {x}}|^{2}-F(|x|^{2}),}
このシステムでは保存されます。
によって描かれる曲線は ペダル座標で次のように表される。
x
{\displaystyle x}
（
ら − グ （
r
2
）
）
2
p
2
= ふ （
r
2
） + c 、
{\displaystyle {\frac {\left(LG(r^{2})\right)^{2}}{p^{2}}}=F(r^{2})+c,}
ペダルポイントは原点にある。この事実は2017年にP. Blaschkeによって発見された。 [5]
例 例として、いわゆる ケプラー問題 、つまり中心力問題を考えてみましょう。この問題では、力は距離の2乗に反比例して変化します。
x ¨
= −
ま
|
x
|
3
x 、
{\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {M}{|x|^{3}}}x,}
ペダル座標ですぐに解決策にたどり着くことができます
ら
2
2
p
2
=
ま r
+ c 、
{\displaystyle {\frac {L^{2}}{2p^{2}}}={\frac {M}{r}}+c,}
、 ここで、 は 粒子の角運動量と エネルギーに対応します。こうして、ペダル座標における円錐曲線の方程式が得られました。
ら
{\displaystyle L}
c
{\displaystyle c}
逆に、与えられた曲線 C に対して、その曲線に沿って移動するためにテスト粒子にどのような力を加える必要があるかを簡単に推測できます。
特定の曲線に対するペダル方程式
正弦波螺旋 正弦波螺旋 は次の 形式で表されます
r
ん
=
1つの
ん
罪 （ ん θ ）
{\displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\theta )}
極接線角は
ψ = ん θ
{\displaystyle \psi =n\theta }
ペダル方程式を生成する
p
1つの
ん
=
r
ん + 1
。
{\displaystyle pa^{n}=r^{n+1}.}
よく知られている曲線のペダル方程式は、 nを 特定の値に設定することで得ることができる。 [6]
スパイラル 螺旋状の曲線
r = c
θ
α
、
{\displaystyle r=c\theta ^{\alpha },}
方程式を満たす
d r
d θ
= α
r
α − 1
α
、
{\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=\alpha r^{\frac {\alpha -1}{\alpha }},}
そして、ペダル座標に簡単に変換できる。
1
p
2
=
α
2
c
2 α
r
2 +
2 α
+
1
r
2
。
{\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {\alpha ^{2}c^{\frac {2}{\alpha }}}{r^{2+{\frac {2}{\alpha }}}}}+{\frac {1}{r^{2}}}.}
特殊なケースとしては次のようなものがあります:
内転筋と下転筋 パラメトリック方程式で与えられる外サイクロイドまたは内サイクロイドの場合
x
(
θ
)
=
(
a
+
b
)
cos
θ
−
b
cos
(
a
+
b
b
θ
)
{\displaystyle x(\theta )=(a+b)\cos \theta -b\cos \left({\frac {a+b}{b}}\theta \right)}
y
(
θ
)
=
(
a
+
b
)
sin
θ
−
b
sin
(
a
+
b
b
θ
)
,
{\displaystyle y(\theta )=(a+b)\sin \theta -b\sin \left({\frac {a+b}{b}}\theta \right),}
原点に対するペダル方程式は [7]である。
r
2
=
a
2
+
4
(
a
+
b
)
b
(
a
+
2
b
)
2
p
2
{\displaystyle r^{2}=a^{2}+{\frac {4(a+b)b}{(a+2b)^{2}}}p^{2}}
または [8]
p
2
=
A
(
r
2
−
a
2
)
{\displaystyle p^{2}=A(r^{2}-a^{2})}
と
A
=
(
a
+
2
b
)
2
4
(
a
+
b
)
b
.
{\displaystyle A={\frac {(a+2b)^{2}}{4(a+b)b}}.}
特定のn 値に対して b = a ⁄ n を設定することで得られる特殊なケースには次の ものがあります。
その他の曲線 その他のペダル方程式は以下の通りである: [9]
参照
参考文献
^ イェーツ §1 ^ エドワーズ p. 161 ^ イェーツ p. 166、エドワーズ p. 162 ^ ブラシュケ命題1 ^ ブラシュケ定理 2 ^ イェーツ p. 168、エドワーズ p. 162 ^ エドワーズ p. 163 ^ イェーツ p. 163 ^ イェーツ p. 169、エドワーズ、p. 163、ブラシュケ秒。 2.1
RC Yates (1952)。「ペダル方程式」。 曲線とその特性に関するハンドブック 。ミシガン州アナーバー: JW Edwards。pp. 166 ff。 J. エドワーズ (1892)。『微分積分学』ロンドン: マクミラン社、pp. 161 ff. P. Blaschke (2017). 「ペダル座標、ダークケプラー、その他の力の問題」 (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 58/6 . arXiv : 1704.00897 . doi :10.1063/1.4984905.
外部リンク 
