テイト双対性

数学において、テイト双対性またはポワトゥ・テイト双対性は、代数体または局所体のガロア群上の加群のガロアコホモロジー群に対する双対性定理であり、ジョン・テイト (1962) とジョルジュ・ポワトゥ (1967) によって導入された。

p進局所体の場合、局所テイト双対性は、ガロアコホモロジーから生じる 有限群の完全なペアリングが存在することを意味します。${\displaystyle k}$

${\displaystyle \displaystyle H^{r}(k,M)\times H^{2-r}(k,M')\rightarrow H^{2}(k,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

ここで、は有限群スキーム、はその双対、 は乗法群です。特性 の局所体の場合、ペアリングが 内の値を取ることを除いて、ステートメントは同様です。^{[1] が}アルキメデス体の場合にもステートメントは成り立ちますが、この場合はコホモロジー群の定義が多少異なります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,G_{m})}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle H^{2}(k,\mu )=\bigcup _{p\nmid n}{\tfrac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle k}$

大域体上の有限群スキームが与えられた場合、大域テイト双対性は、上で構築された局所対を用いて、 のコホモロジーをのコホモロジーと関連付ける。これは、局所化写像を介して行われる。${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M'=\operatorname {Hom} (M,G_{m})}$

${\displaystyle \alpha _{r,M}:H^{r}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M),}$

ここで はのすべての場所で変化し、 は非分岐コホモロジー群に関する制限積を表す。局所ペアリングを足し合わせると、標準的な完全ペアリングが得られる。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \prod '}$

${\displaystyle {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M)\times {\prod _{v}}'H^{2-r}(k_{v},M')\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

ポワトゥ-テイト双対性の一部は、この組み合わせにおいて、 の像の消滅子は の像と等しいと述べています。 ${\displaystyle H^{r}(k,M)}$${\displaystyle H^{2-r}(k,M')}$${\displaystyle r=0,1,2}$

この写像はすべてのに対して有限核を持ち、テイトは標準的な完全対も構築する。 ${\displaystyle \alpha _{r,M}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\text{ker}}(\alpha _{1,M})\times \ker(\alpha _{2,M'})\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

これらの双対性は、9項の正確な数列の形で表現されることが多い。

${\displaystyle 0\rightarrow H^{0}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{0}(k_{v},M)\rightarrow H^{2}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{1}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{1}(k_{v},M)\rightarrow H^{1}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{2}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{2}(k_{v},M)\rightarrow H^{0}(k,M')^{*}\rightarrow 0.}$

ここで、アスタリスクは、与えられた局所コンパクトアーベル群のポントリャーギン双対を表します。

これらのステートメントはすべて、の場所の集合に依存するより一般的な形式で Tate によって提示され、上記のステートメントはのすべての場所が に含まれる場合の彼の定理の形になっています。より一般的な結果については、例えば Neukirch、Schmidt、Wingberg (2000、定理 8.4.4) を参照してください。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

ポワトゥー・テイト双対性は、他の主張の中でも、特定のシャファレビッチ群間の完全な対合を確立する。大域体、素数の集合S 、およびSの外側で非分岐な最大拡大が与えられた場合、シャファレビッチ群は、大まかに言えば、Sの素数に関連する局所体のガロアコホモロジーで消えるコホモロジー内の元を捉える。^[2]${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{S}}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{S}/k)}$

S整数の環を有限型の正規スキームに置き換える場合の拡張は、 Geisser & Schmidt (2018) によって示されました。もう 1 つの一般化は、滑らかな固有曲線上の平坦コホモロジーを使用することで局所集合S上の条件を緩和した Česnavičius によるものです。^[3]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{S}}$

• アルティン・ヴェルディエ双対性
• テイトペアリング

• ガイサー、トーマス H.; シュミット、アレクサンダー (2018)、「算術スキームのポワトゥー-テイト双対性」、Compositio Mathematica、154 (9): 2020–2044、arXiv : 1709.06913、Bibcode :2017arXiv170906913G、doi :10.1112/S0010437X18007340、S2CID  119735104
• Haberland、Klaus (1978)、代数体のガロア コホモロジー、VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften、ISBN 9780685872048、MR  0519872
• ノイキルヒ、ユルゲン; シュミット、アレクサンダー; ウィングバーグ、ケイ (2000)、数体コホモロジー、シュプリンガー、ISBN 3-540-66671-0、MR  1737196
• Poitou、Georges (1967)、「Propriétés globales des modules finis」、Cohomologie galoisienne des modules finis、Séminaire de l'Institut de l'Mathématiques de Lille、sous la direct de G. Poitou。 Travaux et Recherches Mathématiques、vol. 13、パリ: デュノー、255–277 ページ、MR  0219591
• テイト、ジョン(1962)、「数体上のガロアコホモロジーにおける双対定理」、国際数学者会議の議事録 (ストックホルム、1962 年)、Djursholm: ミッタク レフラー研究所、pp. 288–295、MR  0175892、2011-07-17 にオリジナルからアーカイブ