アダマールの三円定理

数学の分野である複素解析において、 アダマールの三円定理は正則関数の挙動についての結果である。

アダマールの3円定理:を円環上の正則関数とする。を円上の の最大値とする。すると、は対数の凸関数となる。さらに、 が定数とに対して の形でない場合、 はの関数として厳密に凸となる。${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle r_{1}\leq \left|z\right|\leq r_{3}}$${\displaystyle M(r)}$${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle |z|=r.}$${\displaystyle \log M(r)}$ ${\displaystyle \log(r).}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle cz^{\lambda}}$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \log M(r)}$${\displaystyle \log(r).}$

この定理の結論は次のように言い換えることができる。

${\displaystyle \log \left({\frac {r_{3}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{2})\leq \log \left({\frac {r_{3}}{r_{2}}}\right)\log M(r_{1})+\log \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{3})}$

任意の3つの同心円の半径${\displaystyle r_{1}$

3 つの円の定理は、任意の実数aに対して、関数 Re log( z ^a f ( z )) が 2 つの円の間で調和的であり、したがっていずれかの円で最大値をとるという事実から導かれます。この定理は、この調和関数が両方の円で同じ最大値をとるように定数a を選択することによって得られます。

この定理はアダマールの三線定理から直接導くこともできる。^[1]

この定理の記述と証明は1912年にJEリトルウッドによってなされたが、彼はこれを既知の定理として述べ、特定の人物に帰属させなかった。ハラルド・ボーアとエドモンド・ランダウは1896年にこの定理をジャック・アダマールに帰属させたが、アダマールは証明を発表しなかった。^[2]

• 最大原則
• 対数凸関数
• ハーディの定理
• アダマールの三直線定理
• ボレル・カラテオドリの定理
• フラグメン・リンデロフの原理

• エドワーズ、HM（1974）、リーマンのゼータ関数、ドーバー出版、ISBN 0-486-41740-9
• リトルウッド、JE (1912)、「仮説と関数の結果はリーマンのゼロとデミプラン Re(s) > 1/2 で決まる。」、Les Comptes rendus de l 「科学アカデミー」、154 : 263–266
• EC ティッチマーシュ、「リーマンゼータ関数の理論」、(1951) オックスフォード、クラレンドン プレス、オックスフォード。(第 14 章を参照)
• ウルリッヒ、デイビッド C. (2008)、「複雑なものをシンプルに」、Graduate Studies in Mathematics、vol. 97、アメリカ数学会、pp. 386–387、ISBN 0821844792

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• 「アダマールの3円定理の証明」