クライン面

数学において、クライン面は複素数次元 1 の二解析多様体である。クライン面は境界を持つ場合があり、向き付け可能である必要はない。クライン面はリーマン面を一般化する。後者は複素数上の代数曲線を解析的に研究するのに使用され、前者は実数上の代数曲線を解析的に研究するために使用される。クライン面は1882 年にフェリックス・クラインによって導入された。 ^[1]

クライン面は、与えられた点における 2 つの接ベクトル間の角度の概念が明確に定義されている面(つまり、実数次元 2 の微分可能多様体)であり、面上の 2 つの交差曲線間の角度も同様に明確に定義されています。これらの角度は [0,π] の範囲にあります。面には向きの概念がないため、角度 α と −α を区別することはできません。(対照的に、リーマン面は向きがあり、(-π,π] の範囲の角度を意味のある形で定義できます。) 曲線の長さ、部分多様体の面積、測地線の概念は、クライン面では定義されていません。

2 つのクライン面XとY は、境界を境界にマップし、 fg = id _Yおよびgf = id _{X を}満たす、共形 (つまり、角度は保存されるが、方向は必ずしも保存されない) 微分可能マップf : X → Yおよびg : Y → Xが存在する場合に同等であるとみなされます。

すべてのリーマン面(境界のない複素次元 1 の解析多様体) はクライン面です。例としては、複素平面(非コンパクト)、リーマン球面(コンパクト)、トーラス(コンパクト) の開集合などがあります。多様体として同じ基礎トーラスを持つ、さまざまな非同値リーマン面が存在することに注意してください。

複素平面上の閉じた円板はクライン面（コンパクト、境界あり）である。すべての閉じた円板はクライン面として同値である。複素平面上の閉じた環状体はクライン面（コンパクト、境界あり）である。すべての環状体がクライン面として同値なわけではない。環状体からこのようにして生じる同値でないクライン面の 1 パラメータ族が存在する。リーマン球面からいくつかの開いた円板を取り除くと、別のクラスのクライン面（コンパクト、境界あり）が得られる。実射影平面は、基本的に 1 つの方法でのみクライン面（コンパクト、境界なし）に変換できる。クラインの壺はクライン面（コンパクト、境界なし）に変換できる。クラインの壺上には同値でないクライン面構造の 1 パラメータ族が定義されている。同様に、メビウスの帯上には同値でないクライン面構造の 1 パラメータ族が定義されている。^[2]

あらゆるコンパクトな位相2次元多様体（境界を持つ場合もある）は、多くの場合、さまざまな非同値な方法で クライン面に変換できます^{[3] 。}

コンパクトなクライン面の境界は有限個の連結成分から成り、各成分は円に同相である。これらの成分はクライン面の楕円と呼ばれる。 ^[3]

Σ が (必ずしも連結ではない) リーマン面であり、τ:Σ→Σ が反正則 (向きが反転する)反転であると仮定します。すると、商 Σ/τ は自然なクラインの面構造を持ち、すべてのクラインの面は基本的にこの方法で 1 つの方法でのみ得られます。^[3] τ の不動点はΣ/τ の境界点に対応します。面 Σ は Σ/τ の「解析的二重」と呼ばれます。

クライン面はカテゴリを形成します。クライン面Xからクライン面Yへの射は微分可能な写像f : X → Yであり、これは各座標パッチ上で正則写像または正則写像の複素共役であり、さらにXの境界をYの境界に写像します。

実数上の滑らかな 射影 代数曲線（同型まで）とコンパクト連結なクライン面（同値 まで）の間には一対一の対応がある。曲線の実数点は、クライン面の境界点に対応する。 ^[3]実際、R上の滑らかな射影代数曲線（正則写像を射とする）のカテゴリとコンパクト連結なクライン面のカテゴリの間には、カテゴリの同値がある。これは、複素数上の滑らかな射影代数曲線とコンパクト連結なリーマン面の間の対応に似ている。（ここで考慮する代数曲線は抽象曲線、つまりR上の有限型の積分で分離された1 次元スキームであることに注意してください。このような曲線はR上の曲線X ² + Y ² +1=0のようにR有理点を持つ必要はなく、その場合、そのクライン面は空の境界を持つことになります。）

また、コンパクト連結なクライン面（同値性を除く）とR上の 1 変数の代数関数体（ R同型性を除く）の間にも 1 対 1 の対応関係がある。この対応関係は、コンパクト連結なリーマン面と複素数上の代数関数体との間の対応関係に似ている。^[2] Xがクライン面である 場合、関数f : X → C u{∞} は、各座標パッチ上で、fまたはその複素共役が通常の意味で有理型であり、f がXの境界上で実数値（または∞）のみを取る場合、有理型と呼ばれる。連結なクライン面Xが与えられた場合、 X上で定義された有理型関数の集合は、 R上の 1 変数の代数関数体である体M( X ) を形成する。 M は反変関数であり、コンパクト連結クライン面 (非定数射を含む) のカテゴリと実数上の 1 変数の関数体のカテゴリの間に 双対性(反変同値性) をもたらします。

コンパクト連結クライン面X を同相まで（同値までではない！）分類するには、3つの数（g、k、a）を指定する。解析的二重 Σ の種数 g 、 Xの境界の連結成分の数k、Xが向き付け可能な場合はa =0 、そうでない場合はa =1で定義される数aである。^[3] k  ≤  g +1が常に成り立つ。 Xのオイラー特性は1- gに等しい。^[3]

• ノーマン・L・アリング、ニューカム・グリーンリーフ（1971年）、クライン面理論の基礎。数学講義ノート、第219巻、シュプリンガー・フェアラーク