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アレクサンドロフの多面体に関する定理は、数学における剛性定理であり、3次元凸多面体をその表面上の点間の距離で記述するものです。この定理は、互いに異なる形状の凸多面体は、表面距離の異なる距離空間を持つことを意味し、多面体の表面距離から得られる距離空間を特徴づけます。この定理は、1940年代に発表したソ連の数学者アレクサンドル・ダニロヴィチ・アレクサンドロフにちなんで名付けられました。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
ユークリッド空間内の任意の凸多面体の表面は計量空間を形成し、その空間では2点間の距離は表面に沿って一方の点から他方の点への最短経路の長さによって測定されます。単一の最短経路内では、2点間の距離は同じ長さの線分の対応する点間の距離に等しくなります。この性質を持つ経路は測地線として知られています。多面体表面のこの性質、つまりすべての2点が測地線で結ばれているという性質は、他の多くの計量空間では成り立たず、この性質が成り立つ場合、その空間は測地空間と呼ばれます。多面体の表面から形成される測地空間は、その展開と呼ばれます。[ 3 ]
多面体は、一枚の紙（多面体の展開図）から折り畳まれたものと考えることができ、紙と同じ幾何学的性質を受け継ぎます。多面体の面内の任意の点pに対して、 pの十分に小さな開いた近傍は、ユークリッド平面の部分集合と同じ距離を持ちます。多面体の辺上の点についても同じことが言えます。辺上の点は、線に沿って折り畳まれ、3 次元空間に埋め込まれたユークリッド平面として局所的にモデル化できますが、折り畳みによって表面に沿った最短経路の構造は変わりません。ただし、多面体の頂点は異なる距離構造を持ちます。多面体の頂点の局所的な幾何学は、円錐の頂点の局所的な幾何学と同じです。任意の円錐は、くさび形を取り除いた平らな紙から、くさび形を取り除いた部分の切り口を接着することによって形成できます。取り除かれたくさび形の角度は、頂点の角度欠陥と呼ばれます。これは2πより小さい正の数です。多面体の頂点の欠損は、その頂点の面角を 2π から引くことで測定できます。たとえば、正四面体では、各面角はπ /3 であり、各頂点に 3 つあるため、2π からそれらを引くと、4つの頂点のそれぞれにπの欠損が残ります。同様に、立方体では、 8 つの頂点のそれぞれにπ /2 の欠損があります。デカルトの全角欠損に関する定理(ガウス・ボンネの定理の一形式) は、すべての頂点の角欠損の合計が常に正確に4πであると述べています。要約すると、凸多面体の展開は測地線であり、球と同相(位相的に等価) であり、角欠損の合計が4πになる有限個の円錐点を除いて局所的にユークリッドです。[ 3 ]
アレクサンドロフの定理は、この記述の逆を与えている。それは、距離空間が測地線であり、球と同相であり、正の角度欠損（必然的に合計が 4πになる）を持つ有限個の円錐点を除いて局所的にユークリッドである場合、展開が与えられた空間となる凸多面体が存在すると述べている。さらに、この多面体は距離から一意に定義される。同じ表面距離を持つ任意の 2 つの凸多面体は、3 次元集合として互いに合同でなければならない。 [ 3 ]
与えられた距離空間を表す多面体は退化している可能性があり、完全な三次元多面体ではなく、二重被覆された二次元凸多角形（二面体）を形成する可能性があります。この場合、その表面距離は、対応する辺に沿って貼り合わされた多角形の 2 つのコピー（その 2 つの辺）で構成されます。[ 3 ] [ 6 ]
アレクサンドロフの定理は、与えられた計量を持つ凸多面体はただ一つ存在すると述べているが、同じ計量を持つ非凸多面体が存在する可能性もある。正二十面体はその一例である。正二十面体の三角形のうち5つを取り除き、5つの合同な三角形で置き換えて多面体にくぼみを作ると、結果として得られる表面計量は変化しない。[ 7 ]この例では凸多面体と非凸多面体に同じ折り目を使用しているが、常にそうとは限らない。例えば、正八面体の表面を異なる折り目に沿って折り直すと、24個の正三角形の面を持つ非凸多面体、すなわち立方体の正方形に正四角錐を接着して得られるクリートープになる。この折り直しによって新たに導入された各頂点には6つの三角形が集まるため、角度の欠陥はゼロとなり、局所的にユークリッド空間となる。 4つの六角形から折り畳まれた正八面体の図では、これらの24個の三角形は、各六角形を6つの三角形に分割することによって得られます。[ 5 ]
任意の多面体の展開は、2次元多角形の集合と、それらを辺に沿って接着して距離空間を形成するための指示によって具体的に記述することができ、このように記述された空間に対するアレクサンドロフの定理の条件は容易に確認できます。しかし、2つの多角形が接着された辺は、多面体の辺になるのではなく、平坦になり、結果として生じる多面体の面の内部に位置する可能性があります。（この現象の例については、4つの六角形を接着して正八面体を形成する図を参照してください。）したがって、展開がこのように記述されたとしても、結果として生じる多面体の形状、その面の形状、さらには面の数さえも明確ではない場合があります。アレクサンドロフの元の証明は、与えられた距離空間を実現する多面体を構築するアルゴリズム（例えば、頂点の座標を与えることによって）にはつながりません。2008年に、ボベンコとイズメスティエフはそのようなアルゴリズムを提供しました。[ 8 ]彼らのアルゴリズムは、擬似多項式時間で座標を任意に正確に近似することができる。[ 9 ]
凸多面体の存在と一意性に関する最も初期の定理の 1 つはコーシーの定理であり、凸多面体はその面の形状と連結性によって一意に決定されると述べています。アレクサンドロフの定理は、面が伸縮せずに曲がったり折り畳まれたりしても、その連結性が多面体の形状を決定することを示すことで、この定理を強化しています。一方、アレクサンドロフの定理の存在部分の証明は、マックス・デーンによるコーシーの定理の無限小剛性への強化を利用しています。[ 3 ]
アレクサンドロフの結果と同様の結果が滑らかな凸面にも当てはまります。ガウス曲率が至るところで正であり、合計が4πである 2 次元リーマン多様体は、3 次元の滑らかな凸体の表面として一意に表現できます。この表現の一意性は、 1927 年にステファン・コーン＝フォッセンによって、その後の研究で削除された表面上のいくつかの正則性条件によって証明されました。その存在は、多面体計量の極限に関する議論を用いてアレクサンドロフによって証明されました。[ 10 ]アレクセイ・ポゴレロフは、これらの結果を両方とも一般化し、3 次元の任意の凸体の展開を特徴付けました。[ 3 ]
凸多面体から導出される測地距離空間に関するポゴレロフのもう一つの結果は、3つの測地線の定理のバージョンである。すなわち、すべての凸多面体には少なくとも3つの単純な閉じた準測地線が存在する。これらは、頂点を通過する場合を除き局所的に直線である曲線であり、頂点を通過する際には両側の角度がπ未満でなければならない。 [ 11 ]
理想双曲多面体の展開は、ユークリッド凸多面体と同様の方法で特徴づけることができる。すなわち、一様な双曲幾何学と有限面積を持つすべての2次元多様体は、組み合わせ論的に有限個の穴が開いた球と等価であり、理想多面体の表面として実現できる。[ 12 ]