68–95–99.7 ルール

統計学において、68-95-99.7 ルールは経験則とも呼ばれ、 3srと略されることもあり、正規分布の区間推定値内に含まれる値の割合を覚えておくために使用される省略形です。値の約 68%、95%、99.7% がそれぞれ平均値の1、2、3標準偏差内にあります。

数学的表記では、これらの事実は次のように表現できます。ここで、Pr()は確率関数、^[1] Χは正規分布するランダム変数からの観測値、μ (ミュー) は分布の平均、σ (シグマ) はその標準偏差です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&\approx 68.27\%\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 95.45\%\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 99.73\%\end{aligned}}}$$

このヒューリスティックの有用性は、特に検討中の質問によって異なります。

経験科学では、いわゆる 3シグマルール（または3σルール）は、ほぼすべての値が平均値の3標準偏差以内にあるとみなされるという従来の経験則を表しており、したがって99.7％の確率をほぼ確実であると扱うことは経験的に有用である。^[2]

社会科学では、信頼水準が2シグマ効果（95%）のオーダーであれば、結果は統計的に有意であるとみなされるが、素粒子物理学や天体物理学では、発見とみなされるには5シグマ効果（99.99994%の信頼水準）の統計的有意性を要求する慣例がある。^[3]

チェビシェフの不等式から、より弱い3シグマ則を導くことができ、非正規分布の変数であっても、少なくとも88.8%のケースが適切に計算された3シグマ間隔内に収まるはずであることを示す。単峰分布の場合、ヴィソチャンスキー・ペトゥニン不等式により、間隔内に収まる確率は少なくとも95%である。分布に対して、この確率を少なくとも98%に強制する特定の仮定があるかもしれない。^[4]

標準得点に関して変数を変更 すると、 となり 、この積分は およびとは独立しています。 の場合の各積分を計算するだけで済みます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -n\sigma \leq X\leq \mu +n\sigma )=\int _{\mu -n\sigma }^{\mu +n\sigma }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}dx,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-n}^{n}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\end{aligned}},}$$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle n=1,2,3}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{1}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.6827\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-2}^{2}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.9545\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-3}^{3}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.9973.\end{aligned}}}$$

これらの数値「68%、95%、99.7%」は、正規分布の累積分布関数から得られたものです。

任意の標準得点zの予測区間は数値的には(1 − (1 − Φ _{μ , σ ²} (z)) · 2)に相当します。

たとえば、Φ (2) ≈ 0.9772、またはPr( X ≤ μ + 2 σ ) ≈ 0.9772 は、予測区間(1 − (1 − 0.97725)·2) = 0.9545 = 95.45%に相当します。これは対称区間ではなく、単に観測値がμ + 2 σ未満になる確率です。観測値が平均値の 2 標準偏差以内にある確率を計算するには (四捨五入による小さな差)、次のようにします。 $${\displaystyle \Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )=\Phi (2)-\Phi (-2)\approx 0.9772-(1-0.9772)\approx 0.9545}$$

これは、統計で使用される信頼区間と関連しています。 は、サイズ のサンプルの平均の場合、およそ 95% の信頼区間です。 ${\displaystyle {\bar {X}}\pm 2{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle n}$

「68-95-99.7 ルール」は、母集団が正規分布であると仮定した場合に、標準偏差に基づいて何かの大まかな確率を素早く推定するためによく使用されます。また、母集団が正規分布であると仮定した場合には外れ値の簡単なテストとして、また母集団が正規分布ではない可能性がある場合には正規性テストとして使用されます。

標本から標準偏差の数に移るには、まず偏差を計算します。偏差は、母平均がわかっているか、それとも推定値のみであるかに応じて、誤差または残差のいずれかになります。次のステップは、母集団パラメータがわかっている場合は標準化（母標準偏差で割る）し、パラメータが未知で推定値のみの場合は スチューデント化（標準偏差の推定値で割る）します。

外れ値の検定や正規性検定として使用するには、標準偏差で偏差の大きさを計算し、これを期待頻度と比較します。サンプル セットが与えられれば、スチューデント化残差を計算し、これを期待頻度と比較できます。標準から 3 標準偏差以上離れたポイントは外れ値である可能性が高く (サンプル サイズが著しく大きい場合を除き、その場合はこの極端なサンプルが期待されます)、標準から 3 標準偏差以上離れたポイントが多数ある場合は、分布の想定される正規性に疑問を抱く理由がある可能性があります。これは、4 標準偏差以上の移動に対してさらに強く当てはまります。

より正確に計算するには、ポアソン分布で特定の大きさ以上の極端な動きの数を近似しますが、単純に言えば、サイズ 1,000 のサンプルで 4 標準偏差の動きが複数ある場合は、これらの外れ値を考慮するか、分布の想定された正規性に疑問を抱く強い理由があります。

たとえば、6 σ のイベントは、約 2 ppbの確率に相当します。たとえば、イベントが毎日発生するとすると、これは 140 万年に 1 回発生すると予想されるイベントに相当します。これにより、単純な正規性テストが行​​われます。つまり、毎日のデータで6 σが見られ、経過した年数が 100 万年を大幅に下回る場合、正規分布は、この点で大きな偏差の大きさや頻度を表す適切なモデルを提供しない可能性が高くなります。

ナシム・ニコラス・タレブは著書『ブラック・スワン』の中で、ブラックマンデーの暴落が 36- σ のイベントに相当するというリスク・モデルの例を挙げている。そのようなイベントの発生は、モデルに欠陥があること、つまり検討中のプロセスが正規分布で十分にモデル化されていないことを即座に示唆するはずである。その場合、例えば確率的ボラティリティの導入などにより、改良されたモデルを検討すべきである。そのような議論では、ギャンブラーの誤謬の問題を認識しておくことが重要である。これは、まれなイベントを 1 回観察しただけでは、そのイベントが実際にまれであることに矛盾しないというものである。まれであるとされるイベントを複数観察すると、それらがまれであるという仮説、つまり想定されたモデルの妥当性が次第に損なわれる。仮説に対する信頼が徐々に失われるこのプロセスを適切にモデル化するには、仮説自体だけでなく、考えられるすべての代替仮説に対して事前確率を指定することが必要である。このため、統計的仮説検定は、可能性が高いと考えられる仮説を確認するのではなく、可能性が低いと考えられる仮説を反証することによって機能します。

正規分布の裾は指数関数的に減少するため、偏差が大きくなる確率は急速に減少します。日常的なイベントの 正規分布データのルールは次のとおりです。

• p値
• シックス シグマ § シグマ レベル
• 標準スコア
• t統計量

• 「WolframAlphaでxシグマ内のパーセンテージ比率を計算する」