分割不可能な財に関する効用関数

経済学とゲーム理論の一部の分野では、分割不可能な商品、つまり全体としてのみ取引できる個別の商品を扱っています。たとえば、組み合わせオークションでは商品の集合が有限で、各エージェントは商品のサブセットを購入できますが、商品を 2 人以上のエージェント間で分割することはできません。

通常、すべてのエージェントがアイテムのすべてのサブセットに 主観的な効用を割り当てると想定されます。これは、次の 2 つの方法のいずれかで表すことができます。

• 順序効用選好関係。通常は で示されます。エージェントが集合を 集合よりも好むという事実は と書きます。エージェントが と を弱く選好するだけの場合（つまり、と の間でどちらかを好むか、どちらでもない）、これは と書きます。${\displaystyle \succ}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\succeq B}$
• 基数効用関数は、通常 と表記されます。エージェントが集合から得る効用はと表記されます。基数効用関数は、 のように正規化されることが多く、 は空集合です。${\displaystyle u}$${\displaystyle A}$${\displaystyle u(A)}$${\displaystyle u(\emptyset )=0}$${\displaystyle \emptyset}$

基数効用関数は選好関係を意味します。を意味し、 を意味します。効用関数にはいくつかの特性があります。^[1]${\displaystyle u(A)>u(B)}$${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle u(A)\geq u(B)}$${\displaystyle A\succeq B}$

単調性とは、エージェントが常に（弱く）余分なアイテムを好むことを意味します。正式には：

• 選好関係の場合:を意味します。${\displaystyle A\supseteq B}$${\displaystyle A\succeq B}$
• 効用関数の場合:を意味します(つまり、u は単調関数です)。${\displaystyle A\supseteq B}$${\displaystyle u(A)\geq u(B)}$

単調性は自由処分仮定と同等です。つまり、エージェントが不要なアイテムを常に処分できる場合、余分なアイテムによって効用が減少することはありません。

加法性（線形性またはモジュール性とも呼ばれる）とは、「全体がその部分の合計に等しい」という意味です。つまり、アイテムのセットの効用は、各アイテムの効用を個別に合計したものです。この特性は、基数効用関数にのみ関係します。これは、アイテムのセットごとに、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle u(A)=\sum _{x\in A}u({x})}$

と仮定する。言い換えれば、は加法関数である。同等の定義は、 および の任意の集合に対して、${\displaystyle u(\emptyset )=0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle u(A)+u(B)=u(A\cup B)+u(A\cap B).}$

加法的効用関数は、独立財の特徴です。たとえば、リンゴと帽子は独立しているとみなされます。つまり、リンゴを持っていることで得られる効用は、帽子を持っているかどうかに関係なく同じであり、その逆も同様です。この場合の典型的な効用関数は、右に示されています。

劣モジュラ性とは、「全体がその部分の合計よりも大きくない（または小さくなる可能性がある）」ことを意味します。正式には、すべての集合およびに対して、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle u(A)+u(B)\geq u(A\cup B)+u(A\cap B)}$

つまり、はサブモジュラ集合関数です。 ${\displaystyle u}$

これと同等の性質は限界効用逓減であり、これは任意の集合およびに対して、かつ任意のが成り立つことを意味する: ^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle x\notin B}$

${\displaystyle u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)}$。

サブモジュラ効用関数は代替財の特徴です。たとえば、リンゴとパンは代替品と考えることができます。リンゴを食べることで得られる効用は、パンをすでに食べている場合は小さくなります (逆も同様)。これは、その場合、空腹感が減るためです。この場合の典型的な効用関数は、右に示されています。

スーパーモジュラリティはサブモジュラリティの反対で、「全体がその部分の合計より小さくない（またはそれより大きくなる可能性がある）」ことを意味します。正式には、すべての集合およびに対して、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle u(A)+u(B)\leq u(A\cup B)+u(A\cap B)}$

つまり、はスーパーモジュラー集合関数です。 ${\displaystyle u}$

同等の特性は限界効用の増加であり、これは、 および のすべての集合に対して、および任意の が成り立つことを意味します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle x\notin B}$

${\displaystyle u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)}$。

スーパーモジュラー効用関数は、補完財の特徴です。たとえば、リンゴとナイフは補完的であると考えることができます。ナイフをすでに持っている場合、リンゴから得られる効用は大きくなります (逆もまた同様です)。これは、ナイフでリンゴを切った方が食べやすいためです。この場合の可能な効用関数は、右に示されています。

効用関数が加法的となるのは、それがサブモジュラーかつスーパーモジュラーである場合のみです。

劣加法性とは、互いに素な集合のペアごとに${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle u(A\cup B)\leq u(A)+u(B)}$

つまり、は劣加法集合関数です。 ${\displaystyle u}$

が非負であると仮定すると、すべての劣モジュラ関数は劣加法的である。しかし、劣モジュラではない非負の劣加法関数も存在する。例えば、3つの同一のアイテム、、Zがあり、効用はそれらの数量のみに依存すると仮定する。右の表は、劣加法的だが劣モジュラではない効用関数を表している。 ${\displaystyle u(\emptyset )}$${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).}$

超加法性とは、互いに素な集合のペアごとに${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle u(A\cup B)\geq u(A)+u(B)}$

つまり、は超加法集合関数です。 ${\displaystyle u}$

が非正であると仮定すると、すべての超モジュラー関数は超加法的である。しかし、超モジュラーではない非負の超加法関数も存在する。例えば、3つの同一のアイテム、、Zがあり、効用はそれらの数量のみに依存すると仮定する。右の表は、非負で超加法的だが超モジュラーではない効用関数を表している。 ${\displaystyle u(\emptyset )}$${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).}$

効用関数が加法的であるとは、それが超加法的かつ劣加法的である場合にのみ言えます。 ${\displaystyle u(\emptyset )=0}$

という典型的な仮定の下では、すべてのサブモジュラ関数は劣加法的であり、すべてのスーパーモジュラ関数は超加法的です。空集合からの効用に関する仮定がなければ、これらの関係は成り立ちません。 ${\displaystyle u(\emptyset )=0}$

特に、劣モジュラ関数が劣加法的でない場合は、 は負でなければなりません。たとえば、、、 の2つの項目があるとします。この効用関数は、空集合を除いて劣モジュラかつスーパーモジュラであり、非負ですが、劣加法的ではありません。 ${\displaystyle u(\emptyset )}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle u(\emptyset )=-1}$${\displaystyle u(\{X\})=u(\{Y\})=1}$${\displaystyle u(\{X,Y\})=3}$

${\displaystyle u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).}$

また、超モジュラ関数が超加法的でない場合は、 は正でなければなりません。代わりに と仮定します。この効用関数は非負、超モジュラ、劣モジュラですが、超加法的ではありません。 ${\displaystyle u(\emptyset )}$${\displaystyle u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1}$

${\displaystyle u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).}$

単位需要 (UD) とは、エージェントが 1 つの財のみを欲しがっていることを意味します。エージェントが 2 つ以上の財を入手した場合、最も効用が高い財を 1 つ使用し、残りを破棄します。正式には次のようになります。

• 選好関係の場合: すべての集合に対して、となる濃度 の部分集合が存在します。${\displaystyle B}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle |A|=1}$${\displaystyle A\succeq B}$
• 効用関数の場合: すべての集合に対して: ^[3]${\displaystyle A}$

${\displaystyle u(A)=\max _{x\in A}u({x})}$

単位需要関数は、サブモジュラー関数の極端な例です。これは、純粋に代替可能な商品の特徴です。たとえば、リンゴとナシがあり、エージェントが 1 つの果物を食べたい場合、右の表に例示されているように、そのエージェントの効用関数は単位需要です。

総代替品 (GS) とは、エージェントが品目を代替品または独立品とみなし、補完品とみなさないことを意味します。この特性には多くの正式な定義がありますが、それらはすべて同等です。

• すべての UD 評価は GS ですが、その逆は当てはまりません。
• すべての GS 評価はサブモジュラーですが、その逆は真ではありません。

詳細については、 「総代替品（分割できない項目）」を参照してください。

したがって、クラス間には次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle UD\subsetneq GS\subsetneq Submodular\subsetneq Subadditive}$

右の図を参照してください。

効用関数は、個人の幸福を表します。多くの場合、社会全体の幸福を表す関数が必要になります。このような関数は社会福祉関数と呼ばれ、通常は2 つ以上の効用関数の集合関数です。個々の効用関数が加算的である場合、集合関数については次のことが当てはまります。

• 分割可能な財に関する効用関数
• ひたむきなエージェント