ゾーン軸

帯軸は、結晶の「高対称性」の方向を指すために使用されることもありますが、一般的には、 3 次元の結晶の直接格子 (逆格子とは異なります) を基準とした任意の方向を指します。したがって、帯軸はミラー指数ではなく、直接格子指数でインデックス付けされます。

特に、結晶格子を通る高対称性のゾーン軸は、結晶内の原子面間のトンネルの方向にあることが多いです。これは、以下に示すように、このようなゾーン軸の方向が一般に結晶内の複数の原子面内にあるためです。

結晶格子の並進不変性は、単位胞の集合、 a 、 b 、 c と呼ばれる直接格子基底ベクトル（反変 [1] または極性 ）、または格子パラメータ、つまり a 、 b 、 c と呼ばれるベクトルの大きさと、それらの間の角度^α ( bとcの間)、β ( c と a の間)、 γ ( a と b の間) によって記述されます。 [ 2 ] [ 3 ]直接格子ベクトルには、メートル( m )やオングストローム^{( Å} )などの距離単位で測定される成分があります。

格子ベクトルは、直接格子基底システムにおける座標によってインデックス付けされ、通常は角括弧 [] で囲まれます。したがって、直接格子ベクトル、または はと定義されます。山括弧 ⟨⟩ は、対称的に同値な格子ベクトルのクラス (つまり、格子の対称群の作用によって生成されるベクトルの集合) を参照するために使用されます。たとえば、立方格子の場合、⟨100⟩ は [100]、[010]、[001]、[ 1 00]、[0 1 0]、[00 1 ] を表します。これは、これらの各ベクトルが軸に沿った 90 度回転の下で対称的に同値であるためです。座標上のバーは負の符号 (例) に相当します。 ${\displaystyle \{{\bf {a}},{\bf {b}},{\bf {c}}\}}$${\displaystyle {\bf {s}}_{uvw}}$${\displaystyle [uvw]}$${\displaystyle u{\bf {a}}+v{\bf {b}}+w{\bf {c}}}$${\displaystyle [{\overline {1}}00]=-{\bf {a}}}$

「ゾーン軸」という用語は、より具体的には、直接空間格子ベクトルの方向を指します。たとえば、[120] と [240] の格子ベクトルは平行であるため、それらの方向は両方とも結晶の ⟨120⟩ ゾーンに対応します。直接空間の格子面の集合が空間周波数と運動量の補完空間の逆格子ベクトルに対応するのと同様に、「ゾーン」は直接空間の格子ベクトルに対応する周波数空間の逆格子面の集合として定義されます^{[4] [5]}。

逆格子空間におけるゾーン軸に相当するものは、「格子面法線」または「gベクトル方向」である。逆格子ベクトル（1形式^[6]または軸）は、逆格子基底の座標を使用してミラーインデックス化され、通常は丸括弧（）（直接格子ベクトルの角括弧[]に類似）で囲まれる。中括弧{}（数学的なセットと混同しないように）は、逆格子ベクトルの対称的に同等なクラスを参照するために使用される。これは、直接格子ベクトルのクラスの山括弧⟨⟩に類似している。 ${\displaystyle \{{\bf {a}}^{*},{\bf {b}}^{*},{\bf {c}}^{*}\}}$

ここで、、、およびであり、単位格子の体積は（内積と外積を表す）。したがって、逆格子ベクトルまたはは、結晶面に垂直な方向を持ち、その大きさは、空間周波数単位（例えば、オングストロームあたりのサイクル数（cycles/Å））で測定された、それらの面間の間隔の逆数に等しい。 ${\displaystyle {\bf {a}}^{*}\equiv (b\times c)/V_{c}}$${\displaystyle {\bf {b}}^{*}\equiv (c\times a)/V_{c}}$${\displaystyle {\bf {c}}^{*}\equiv (a\times b)/V_{c}}$${\displaystyle V_{c}={\bf {a}}\cdot ({\bf {b}}\times {\bf {c}})}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \times }$${\displaystyle {\bf {g}}_{hkl}}$${\displaystyle (hkl)=h{\bf {a}}^{*}+k{\bf {b}}^{*}+l{\bf {c}}^{*}}$${\displaystyle g_{hkl}=1/d_{hkl}}$${\displaystyle d_{hkl}}$${\displaystyle (hkl)}$

逆格子などの結晶学の「3D の双対ベクトル空間」の有用かつ極めて一般的な規則は、直接格子ベクトル [ uvw ] (またはゾーン軸) が逆格子ベクトル ( hkl ) に垂直になるための条件は、ドット積を使用して と表すことができるというものです。これは、よくあることですが、格子を記述するために使用される基底ベクトル セットが直交座標系でない場合でも当てはまります。 ${\displaystyle [uvw]\cdot (hkl)=uh+vk+wl=0}$

拡張すると、[ uvw ]ゾーン軸パターン(ZAP) は、ゾーン軸インデックス [ uvw ] によって指定された格子方向に沿って移動する電子、 X線、または中性子などの入射ビームで取得される回折パターンです。波長λが短いため、電子顕微鏡で使用される高エネルギー電子は、非常に大きなエワルド球半径 (1/λ) を持ち、電子回折は一般に[ uvw ] に垂直な g ベクトル ( hkl )で回折スポットを「照らします」 。^[7]

この結果の 1 つは、上の図に示されているように、「低指数」ゾーンが一般に「低ミラー指数」格子面に対して垂直であり、その格子面は空間周波数 (g 値) が小さく、したがって格子周期 (d 間隔) が大きいということです。この背後にある直感としては、電子顕微鏡で、電子ビームを結晶内の原子列間の広い (つまり、簡単に見える) トンネルに向けるには、ビームを低指数 (およびそれに伴う高対称性) ゾーン軸に向けると役立つ可能性がある、というものがあります。^{[8] [9] [10] [11]}

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