適切に定式化された問題

数学において、適切に定式化された問題の解は、以下の性質を満たす。

1. それは存在する。
2. それはユニークです。
3. その挙動は、初期値や境界値などの補助条件によって連続的に変化する。

これらの基準は、 1902年にジャック・アダマールによって初めて提唱された。 ^{[ 1 ]： 131}

典型的な適切に定式化された問題の例としては、ラプラス方程式のディリクレ問題や、初期条件が指定された熱方程式などが挙げられる。これらの問題は、物理過程をモデル化しているという意味で、「自然な」問題とみなすことができる。

上記の意味で適切に定式化されていない問題は、不適切定式化問題と呼ばれます。簡単な例として、グローバル最適化問題が挙げられます。これは、目的関数自体がパラメータの滑らかな関数であっても、最適解の位置が目的関数を指定するパラメータの連続関数ではないためです。逆問題も不適切定式化問題となることがよくあります。例えば、最終データから過去の温度分布を推定する逆熱方程式は、解が最終データの変化に非常に敏感であるため、適切に定式化されていません。

連続体モデルは、数値解を得るために離散化する必要がある場合が多い。解は初期条件に関して連続的であるかもしれないが、有限精度で解いたり、データに誤差があったりすると、数値的不安定性に陥る可能性がある。

問題が適切に定式化されていても、条件が悪い場合があり、初期データの小さな誤差が解答に大きな誤差をもたらす可能性があります。非線形複雑系（いわゆるカオス系）の問題は、不安定性のよく知られた例です。条件数が大きいほど、条件が悪い問題であることがわかります。

問題が適切に定式化されている場合、安定したアルゴリズムを使用してコンピュータで解決できる可能性が高い。適切に定式化されていない場合は、数値処理のために再定式化する必要がある。通常、これには、解の滑らかさなどの追加の仮定を含めることが含まれる。このプロセスは正則化として知られている。^{[ 2 ]}チホノフ正則化は、線形の不適切問題の正則化に最もよく使用されるものの1つである。

局所解の存在は、適切性問題の重要な要素であることが多く、例えば後述するエネルギー法など、多くの推定方法の基礎となっている。

このテーマについては多くの研究成果があります。例えば、コーシー初期値問題に関するコーシー・コワレフスキーの定理は、偏微分方程式の項がすべて解析関数で構成され、ある横断条件（初期データが提示される超平面、より一般的には超曲面が偏微分作用素に関して非特性でなければならない）が満たされる場合、特定の領域において、解析関数である解が必ず存在することを本質的に述べています。これは、解析的偏微分方程式の研究における基本的な結果です。驚くべきことに、この定理は滑らかな関数の場合には成り立ちません。 1957年にハンス・レヴィによって発見された例は、係数が滑らか（つまり、すべての階数の導関数を持つ）であるが解析的ではない線形偏微分方程式であり、解は存在しません。したがって、コーシー・コワレフスキーの定理は、その適用範囲が解析関数に限定されるのは必然です。

エネルギー法は、初期条件に関して一意性と連続性を確立するのに役立ちます（ただし、存在性を確立するものではありません）。この方法は、与えられた問題に対するエネルギー型汎関数の上限を導出することに基づいています。

例：単位区間における拡散方程式を、同次ディリクレ境界条件と適切な初期データを用いて考察する。${\displaystyle f(x)}$（例：${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$)

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

方程式を掛け合わせる$u_t=Duxx$による${\displaystyle u}$そして、単位区間で空間的に積分して、

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}}$$

これは私たちに次のことを教えてくれます。$\displaystyle \|u\|_{2}}$( pノルム)は時間とともに増大しない。2倍して時間積分すると、${\displaystyle 0}$まで${\displaystyle t}$すると、

$$\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

この結果は、この問題におけるエネルギー推定値です。

解の一意性を示すために、問題には2つの異なる解があると仮定し、それらを${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$それぞれが同じ初期データを満たす。${\displaystyle w=uv}$そして、方程式の線形性により、次のことがわかる。${\displaystyle w}$満たす

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

エネルギー推定値を適用すると、$\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$これは、${\displaystyle u=v}$（ほぼどこでも）。

同様に、初期条件に関して連続性を示すために、次のように仮定します。${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$異なる初期データに対応する解${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$そして${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$検討する${\displaystyle w=uv}$再び、次のようなことがわかった。${\displaystyle w}$上記と同じ方程式を満たすが、${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$これにより、エネルギー推定値が得られます。$\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$連続性を確立する（つまり${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$測定によると、より近くなる。$\displaystyle L^{2}}$彼らの違いの規範、そして$\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$)

最大値原理は、この例における初期条件に関して解の一意性と連続性を確立するための代替的なアプローチである。この問題の解の存在は、フーリエ級数を用いて証明できる。

コーシー問題の解を表すことが可能であれば${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=Au,u(0)=u_{0}{\text{ (1)}}}$ここで、AはXの稠密な線形部分空間D(A) をXに写像する線形演算子である (不連続線形写像を参照)。${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}$、 どこ${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$は、 X上の線形作用素の族であり、

• ${\displaystyle S(0)=I}$
• ${\displaystyle S(a+b)=S(a)S(b)=S(b)S(a)}$いかなる場合でも${\displaystyle a,b\geq 0}$
• ${\displaystyle t\mapsto S(t)w}$すべての${\displaystyle w}$で${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}S(t)w=AS(t)w}$すべての${\displaystyle w}$で${\displaystyle X}$

すると（１）は適切に定式化されている。

ヒル・ヨシダの定理は、そのようなAの基準を述べている。${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$存在すること。

• 全吸収分光法― 実生活における逆問題または不適切問題の一例であり、期待値最大化アルゴリズムによって解決される。

• アダマール、ジャック (1902)。身体的な問題と重要な問題。プリンストン大学紀要。49～ 52ページ。 
• パーカー、シビル・B.編（1989）[1974]。マグロウヒル科学技術用語辞典（第4 版）。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 0-07-045270-9。
• ティホノフ、AN; アルセニン、VY (1977).不適切問題の解法. ニューヨーク: ウィンストン. ISBN 0-470-99124-0。
• Strauss, Walter A. (2008).偏微分方程式入門（第2 版）. Hoboken: Wiley. ISBN 978-0470-05456-7。
• エヴァンス、ローレンス C. (1998).偏微分方程式(PDF) . プロビデンス (ロードアイランド州): アメリカ数学会. ISBN 0-8218-0772-2。