量子力学の数学的基礎

量子力学の数学的基礎（ドイツ語： Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik）は、1932年にジョン・フォン・ノイマンによって書かれた量子力学の本である。これは、量子力学の数学的定式化の発展における重要な初期の研究である。 ^[1]この本は主に、フォン・ノイマンが以前の論文で発表した結果を要約している。 ^[2]

フォン・ノイマンはヒルベルト空間と線型作用素の概念を用いて量子力学を定式化した。 ^[3]彼は量子力学の数学的定式化に関するポール・ディラックの先行研究を認めていたが、ディラックのデルタ関数の使用には懐疑的だった。彼はディラックよりも数学的に厳密であろうとしてこの本を書いた。^[4]これはフォン・ノイマンのドイツ語での最後の本であり、その後彼は英語での出版を始めた。^[5]

この本はもともと1932年にシュプリンガー社からドイツ語で出版された。^[2] 1946年にアレクサンドル・プロカによってフランス語に翻訳され、 ^[6] 1949年にはスペイン語に翻訳された。 ^[7]ロバート・T・ベイヤーによる英語訳は1955年にプリンストン大学出版局から出版された。ニコライ・ボゴリュボフ編集のロシア語訳は1964年にナウカ社から出版された。ニコラス・A・ウィーラー編集の新しい英語版は2018年にプリンストン大学出版局から出版された。^[8]

2018年版によると、主な章は次のとおりです。^[8]

1. 導入時の考慮事項
2. 抽象ヒルベルト空間
3. 量子統計
4. 理論の演繹的展開
5. 一般的な考慮事項
6. 測定プロセス

重要な一節は、隠れた変数の考え方に対する数学的な議論である。フォン・ノイマンの主張は、エルミート演算子の任意の線形結合が観測可能量を表し、そのような結合演算子の期待値は演算子自体の期待値の組み合わせに従うという仮定に基づいていた。^[9]

フォン・ノイマンは次のような仮定を立てている。^[10]

1. 観測可能なもの の場合、その観測可能なものの関数はによって表されます。${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(R)}$
2. 観測可能な値との合計は、相互の交換関係とは無関係に、演算 によって表されます。${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R+S}$
3. 観測可能量とエルミート演算子の対応は 1 対 1 です。
4. 観測可能値が非負の演算子である場合、その期待値は です。${\displaystyle R}$${\displaystyle \langle R\rangle \geq 0}$
5. 加法性公理: 任意の観測可能量および、実数およびに対して、すべての可能な集合に対してが成り立ちます。${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \langle aR+bS\rangle =a\langle R\rangle +b\langle S\rangle }$

フォン・ノイマンは次のように書けることを示した。

${\displaystyle \langle R\rangle =\sum _{m,n}\rho _{nm}R_{mn}=\mathrm {Tr} (\rho R)}$

である。ここで、および は、ある基底の行列要素である。証明は、がエルミートかつ非負定値 ( ) でなければならないと述べて終わる。^[10]フォン・ノイマンにとって、これは、状態の統計的演算子表現が公理から演繹できることを意味した。その結果、「分散のない」状態は存在しない。^[a]すべての測定が予測可能な結果を​​持つようにシステムを準備することは不可能である。しかし、隠れた変数が存在する場合、隠れた変数の値を知ることですべての測定の結果が予測可能になり、したがって隠れた変数は存在しない可能性がある。^[10]フォン・ノイマンは、分散のない状態が見つかった場合、仮定 1 から 3 を修正する必要があると主張している。^[11]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle R_{mn}}$${\displaystyle \rho _{nm}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \langle \rho \rangle \geq 0}$

フォン・ノイマンは次のように結論づけている。^[12]

もし量子力学の演算子によって表される物理量に加えて、まだ発見されていない他の物理量が存在するとしたら、量子力学によって想定される関係は、上で議論したような現在知られている量については既に成り立たないはずだからである。したがって、よく想定されるように、これは量子力学の再解釈の問題ではなく、統計的なものとは別の基本過程の記述を可能にするためには、現在の量子力学の体系が客観的に誤っている必要がある。

—  324-325ページ

この証明は、証明に欠陥があることを発見したグレーテ・ヘルマンによって 1935 年に早くも否定されました。 ^[11]上記の加法公理は量子状態に対して成り立ちますが、分散のない状態の測定、特に非可換な観測量を考慮する場合には、必ずしも適用する必要はありません。^{[10] [9]}分散のない状態では、隠れたパラメータを平均化するときにのみ加法性を回復する必要があります。^{[10] [9]}たとえば、スピン 1/2システムの場合、の測定は分散のない状態の値を取ることができますが、とを独立に測定すると、の値しか取れません(それらの合計はまたはになります)。^[13]したがって、隠れた変数理論が量子力学を統計的に再現できる可能性はまだ残っています。^{[9] [10] [11]}${\displaystyle (\sigma _{x}+\sigma _{y})}$${\displaystyle \pm {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm 2}$${\displaystyle 0}$

しかし、ヘルマンの批判は1974年にマックス・ジャマーによって再発見されるまで、あまり知られていないままだった。^[11] 1952年、デイヴィッド・ボームは量子力学のボーム解釈を統計的議論の観点から構築し、フォン・ノイマンの証明の妥当性に限界があることを示唆した。 ^{[10] [9]}この問題は1966年にジョン・スチュワート・ベルによって再び広く注目されるようになった。 ^{[9] [10]}ベルは、その仮定の結果が、フォン・ノイマンの考慮には明示的には考慮されていない、互換性のない測定の結果と矛盾することを示した。^[10]

この本は出版当時、量子力学に関する最も完成度の高い本と考えられていた。^{[2] [14]}この本は公理的なアプローチを高く評価された。^[2]ヤコブ・タマルキンによる書評では、フォン・ノイマンの本を、 19世紀のニールス・ヘンリク・アーベルやオーギュスタン＝ルイ・コーシーの研究が数学的解析にもたらした成果に量子力学の分野で匹敵するものとしている。^{[15] [16]}

フリーマン・ダイソンは、この本から量子力学を学んだと述べています。^[5]ダイソンは、1940年代にはフォン・ノイマンの研究が英語圏であまり引用されなかったのは、この本が1955年まで英語に翻訳されなかったためであり、また、当時は数学と物理学の世界がかなり離れていたためでもあると述べています。^[5]

• フォン・ノイマン、J. (1927)。 「Mathematische Begründung der Quantenmechanik [量子力学の数学的基礎]」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学クラス: 1–57。
• フォン・ノイマン、J. (1927)。 「Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik [量子力学の確率論]」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学クラス: 245–272。
• フォン・ノイマン、J. (1927)。 「Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten [量子力学的量の熱力学]」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse。102：273–291。
• フォン・ノイマン、J. (1929)。 「Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren [エルミート関数演算子の一般固有値理論]」。数学アンナレン: 49–131。土井：10.1007/BF01782338。
• フォン・ノイマン、J. (1931)。 「Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren [シュレディンガー演算子の独自性]」。数学アンナレン。104 : 570–578。土井：10.1007/bf01457956。S2CID  120528257。

• ディラック・フォン・ノイマン公理
• ポール・ディラック著『量子力学の原理』

Wikiquote には量子力学の数学的基礎に関する引用があります。

• 1932 年のドイツ語版 (複製) の全文はゲッティンゲン大学でオンライン公開されています。