円形均一分布

確率論と方向統計学において、円形一様分布は、密度がすべての角度に対して均一である単位円上の 確率分布です。

円一様分布の確率密度関数（ pdf）は、例えば の場合、次のようになります。 ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$

${\displaystyle f_{UC}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$

底角の円変数を考えます。これらの項では、円一様分布の円モーメントは を除いてすべてゼロです。 ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle m_{0}}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\delta _{n}}$

クロネッカーのデルタ記号はどこにありますか。 ${\displaystyle \delta_{n}}$

ここで平均角度は定義されておらず、平均結果の長さはゼロです。

${\displaystyle R=|\langle z^{n}\rangle |=0\,}$

円形均一分布から抽出された N個の測定値のセットのサンプル平均は次のように定義されます。${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}={\overline {C}}+i{\overline {S}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

ここで平均正弦と平均余弦は^{[1]である。}

${\displaystyle {\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\qquad \qquad {\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})}$

平均結果長さは次のようになります。

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}=|{\overline {z}}|^{2}={\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}$

平均角度は次のようになります。

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,}$

円形一様分布の標本平均はゼロ付近に集中し、Nが増加するにつれてさらに集中する。一様分布の標本平均の分布は次のように表される: ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}=P({\overline {R}})P({\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}}$

ここで、は変数の区間から成り、制約条件として、およびは定数、または、およびは定数である。角度の分布は一様である。 ${\displaystyle \Gamma \,}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\overline {R}}}$${\displaystyle {\overline {\theta }}}$${\displaystyle {\overline {C}}}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle P({\overline {\theta }})}$

${\displaystyle P({\overline {\theta }})={\frac {1}{2\pi }}}$

の分布は次のように与えられる: ^[2]${\displaystyle {\overline {R}}}$

${\displaystyle P_{N}({\overline {R}})=N^{2}{\overline {R}}\int _{0}^{\infty }J_{0}(N{\overline {R}}\,t)J_{0}(t)^{N}t\,dt}$

ここで、は0 次ベッセル関数です。上記の積分に対する一般的な解析解は知られておらず、被積分関数の振動数が多いため評価が困難です。N=3 の平均分布の 10,000 ポイントのモンテカルロ シミュレーションを図に示します。 ${\displaystyle J_{0}}$

特定の特殊なケースでは、上記の積分は次のように評価できます。

${\displaystyle P_{2}({\overline {R}})={\frac {2}{\pi {\sqrt {1-{\overline {R}}^{2}}}}}.}$

Nが大きい場合、平均の分布は方向統計の中心極限定理から決定できます。角度は均一に分布しているので、角度の個々の正弦と余弦は次のように分布します。

${\displaystyle P(u)du={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}}$

ここで、またはです。したがって、平均はゼロ、分散は 1/2 になります。中心極限定理により、N が大きい極限では、多数のiid の合計であるおよびは、平均ゼロ、分散 で正規分布します。平均結果長さ は、正規分布する 2 つの独立変数の平方和の平方根であり、自由度 2 (つまり、レイリー分布) および分散でカイ 分布します。 ${\displaystyle u=\cos \theta _{n}\,}$${\displaystyle \sin \theta _{n}\,}$${\displaystyle {\overline {C}}\,}$${\displaystyle {\overline {S}}\,}$${\displaystyle 1/2N}$${\displaystyle {\overline {R}}\,}$${\displaystyle 1/2N}$

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }P_{N}({\overline {R}})=2N{\overline {R}}\,e^{-N{\overline {R}}^{2}}.}$

一様分布の 微分情報エントロピーは単純に

${\displaystyle H_{U}=-\int _{\Gamma }{\frac {1}{2\pi }}\ln \left({\frac {1}{2\pi }}\right)\,d\theta =\ln(2\pi )}$

ここで、は長さ の任意の区間です。これは、任意の円形分布が持つ可能性のある最大エントロピーです。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$

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