フォイクトのプロフィール

（中央）フォイクト

確率密度関数 4 つのケースの中心 Voigt プロファイルのプロット。各ケースの半値全幅はほぼ 3.6 です。黒と赤のプロファイルは、それぞれガウス (γ =0) プロファイルとローレンツ (σ =0) プロファイルの限界ケースです。
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \gamma ,\sigma >0}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Re [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},~~~z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}$
ドイツ連邦共和国	（複雑 - 本文参照）
平均	(定義されていません)
中央値	${\displaystyle 0}$
モード	${\displaystyle 0}$
分散	(定義されていません)
歪度	(定義されていません)
過剰尖度	(定義されていません)
MGF の	(定義されていません)
CF	${\displaystyle e^{-\gamma |t|-\sigma ^{2}t^{2}/2}}$

Voigt プロファイル( Woldemar Voigtにちなんで命名) は、 コーシー・ローレンツ分布とガウス分布の畳み込みによって与えられる確率分布です。分光法や回折からのデータの分析によく使用されます。

一般性を失うことなく、ゼロでピークとなる中心プロファイルのみを考慮することができます。Voigtプロファイルは次のようになります。

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}$

ここで、x は線の中心からのシフトであり、中心化されたガウス プロファイルです。 ${\displaystyle G(x;\sigma )}$

${\displaystyle G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

中心化されたロレンツプロファイルは次のようになります 。${\displaystyle L(x;\gamma )}$

${\displaystyle L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+x^{2})}}.}$

定義積分は次のように評価できます。

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

ここでRe[ w ( z )]はファデエバ関数の実部であり、

${\displaystyle z={\frac {x+i\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}$

およびの極限ケースでは、それぞれおよびに簡略化されます。 ${\displaystyle \sigma =0}$${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )}$${\displaystyle L(x;\gamma )}$${\displaystyle G(x;\sigma )}$

分光法では、Voigt プロファイルは 2 つの広がりメカニズムの畳み込みから生じます。そのうちの 1 つは単独ではガウス プロファイル (通常はドップラー広がりの結果として) を生成し、もう 1 つはローレンツ プロファイルを生成します。Voigt プロファイルは分光法や回折の多くの分野で一般的です。Faddeeva関数の計算にはコストがかかるため、Voigt プロファイルは擬似 Voigt プロファイルを使用して近似されることがあります。

Voigt プロファイルは正規化されます。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,}$

これは正規化されたプロファイルの畳み込みであるためです。ローレンツ プロファイルにはモーメント (ゼロ次モーメント以外) がないため、コーシー分布のモーメント生成関数は定義されません。したがって、フォークト プロファイルにもモーメント生成関数はありませんが、コーシー分布の特性関数は、正規分布の特性関数と同様に明確に定義されています。 (中心化された) フォークト プロファイルの特性関数は、次の 2 つの積になります。

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

正規分布とコーシー分布は安定分布であるため、それぞれ畳み込みに対して閉じており（スケールの変更を除いて）、Voigt 分布も畳み込みに対して閉じていることがわかります。

上記のzの定義を使用すると、累積分布関数 (CDF) は次のように求められます。

${\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).}$

Faddeeva関数（スケールされた複素誤差関数）の定義を代入すると、不定積分は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,}$

これを解くと

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),}$

ここで、 は超幾何関数です。 x が負の無限大に近づくにつれて関数がゼロに近づくようにするには(CDF がそうであるように)、積分定数 1/2 を追加する必要があります。これにより、Voigt の CDF は次のようになります。 ${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}$

ガウスプロファイルが を中心とし、ローレンツプロファイルが を中心とする場合、畳み込みは を中心とし、特性関数は次のようになります。 ${\displaystyle \mu _{G}}$${\displaystyle \mu _{L}}$${\displaystyle \mu _{V}=\mu _{G}+\mu _{L}}$

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

確率密度関数は、中心プロファイルから次のように単純にオフセットされます。 ${\displaystyle \mu _{V}}$

${\displaystyle V(x;\mu _{V},\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}$

どこ：

${\displaystyle z={\frac {x-\mu _{V}+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}$

最頻値と中央値は両方とも にあります。 ${\displaystyle \mu _{V}}$

およびについて上記の定義を用いると、1次および2次導関数はFaddeeva関数で次のよう に表すことができる。${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{c}=x-\mu _{V}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&=-{\frac {\operatorname {Re} \left[z~w(z)\right]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x_{c}}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\\&={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-x_{c}\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right)\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\left(\partial x\right)^{2}}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&={\frac {x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x_{c}\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }}\\&=-{\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right),\end{aligned}}}$

それぞれ。

多くの場合、分光法などでは、1つまたは複数のVoigtプロファイルやそれぞれの導関数を、非線形最小二乗法によって測定信号に当てはめる必要があります。その後、さらに偏導関数を使用して計算を高速化できます。有限差分を使用してヤコビ行列をパラメータ、、に関して近似する代わりに、対応する解析式を適用できます。およびを使用すると、これらは次のように表されます。 ${\displaystyle \mu _{V}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \operatorname {Re} \left[w(z)\right]=\Re _{w}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left[w(z)\right]=\Im _{w}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \sigma }}={\frac {1}{\sigma ^{4}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot \Re _{w}-2x_{c}\gamma \cdot \Im _{w}+\gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \gamma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-x_{c}\cdot \Im _{w}-\gamma \cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

オリジナルのVoigtプロファイルの場合; ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V'}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \Im _{w}-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \sigma }}={\frac {3}{\sigma ^{6}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}+\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \gamma }}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-2\gamma \cdot \Re _{w}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}$

1次偏微分の場合、そして ${\displaystyle V'={\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V''}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{3}V}{\left(\partial x\right)^{3}}}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial V''}{\partial \sigma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{8}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \\&\left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma ^{2}+\gamma x_{c}^{3}-\gamma ^{3}x_{c}\right)\cdot 4\cdot \Im _{w}+\left(\left(2x_{c}^{2}-2\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot 3\sigma ^{2}+6\gamma ^{2}x_{c}^{2}-x_{c}^{4}-\gamma ^{4}\right)\cdot \Re _{w}+\left(\gamma ^{2}+5\sigma ^{2}-3x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \gamma }}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Im _{w}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{3}}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Re _{w}+\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-2\sigma ^{2}\right)\cdot \sigma \cdot {\frac {\sqrt {2}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}$

2 階偏導関数 についてです。と はの計算で比較的似た役割を果たすため、それぞれの偏導関数も構造の点では非常に似ていますが、結果的にはまったく異なる導関数プロファイルになります。実際、 と に関する偏導関数は、どちらも幅パラメータであるため、より類似しています。これらの導関数はすべて、単純な演算 (乗算と加算) のみを必要とします。これは、計算コストが高いと がを計算するときに簡単に得られるためです。以前の計算をこのように再利用することで、最小のコストで導出を行うことができます。これは、各勾配についてそれぞれを評価する必要がある有限差分勾配近似には当てはまりません。 ${\displaystyle V''={\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}}$${\displaystyle \mu _{V}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Re _{w}}$${\displaystyle \Im _{w}}$${\displaystyle w\left(z\right)}$${\displaystyle w\left(z\right)}$

ヴォイクト関数^[1] U、V、H（線幅拡大関数と呼ばれることもある）は次のように定義される。

${\displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}\operatorname {erfc} (z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz),}$

${\displaystyle H(a,u)={\frac {U({\frac {u}{a}},{\frac {1}{4a^{2}}})}{{\sqrt {\pi }}\,a}},}$

どこ

${\displaystyle z={\frac {1-ix}{2{\sqrt {t}}}},}$

erfcは相補誤差関数であり、w ( z )はFaddeeva関数である。

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {H(a,u)}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

ガウスシグマ相対変数 と${\displaystyle u={\frac {x}{{\sqrt {2}}\,\sigma }}}$${\displaystyle a={\frac {\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}$

テッパー・ガルシア関数は、ドイツ系メキシコ人の天体物理学者トール・テッパー・ガルシアにちなんで名付けられ、指数関数と有理関数の組み合わせであり、広範囲のパラメータにわたって線広がり関数を近似します。^[2] これは、正確な線広がり関数の 切断されたべき級数展開から得られます。${\displaystyle H(a,u)}$

最も計算効率の良い形式では、テッパー・ガルシア関数は次のように表される。

${\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,}$

ここで、、、およびです。 ${\displaystyle P\equiv u^{2}}$${\displaystyle Q\equiv 3/(2P)}$${\displaystyle R\equiv e^{-P}}$

したがって、線幅関数は、一次的には、純粋なガウス関数に、吸収媒体の微視的特性（ で符号化）に線形に依存する補正係数を加えたものとみなすことができます。ただし、級数展開の早期打ち切りの結果として、近似の誤差は依然として のオーダー、つまりです。この近似の相対精度は ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)}$

${\displaystyle \epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}}$

の全波長範囲にわたって、 である。この関数は高精度であるだけでなく、実装も簡単で、計算も高速である。クエーサー吸収線解析の分野で広く使用されている。^[3]${\displaystyle H(a,u)}$${\displaystyle a\lesssim 10^{-4}}$${\displaystyle T(a,u)}$

擬似Voigtプロファイル（または擬似Voigt関数）は、ガウス曲線G（x）とローレンツ曲線L（x ）の畳み込みの代わりにそれらの線形結合を使用してVoigtプロファイルV（x ）を近似したものです。

擬似フォークト関数は、実験的なスペクトル線の形状の計算によく使用されます。

正規化された擬似フォークトプロファイルの数学的定義は次のように与えられる。

${\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}$と。${\displaystyle 0<\eta <1}$

${\displaystyle \eta }$半値全幅(FWHM) パラメータの関数です。

パラメータにはいくつかの選択肢がある。^{[4] [5] [6] [7]} 1%の精度の簡単な式は次の通りである。^{[8] [9]}${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},}$

ここで、はローレンツ ( )、ガウス ( )、合計 ( )の半値全幅(FWHM) パラメータの関数です。合計 FWHM ( ) パラメータは次のように記述されます。 ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle f_{L}}$${\displaystyle f_{G}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}$

フォイクトプロファイルの半値全幅（FWHM）は、関連するガウス幅とローレンツ幅から求めることができます。ガウスプロファイルのFWHMは、

${\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.}$

ロレンツ分布のFWHMは

${\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma .}$

フォークト、ガウス、ローレンツのプロファイルの幅のおおよその関係（約1.2％以内の精度）は次のとおりです。^[10]

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

構造上、この表現は純粋なガウス分布またはローレンツ分布に対して正確です。

0.02%の精度を持つより良い近似値は^[11]で与えられている（元々はKielkopf ^[12]によって発見された）。

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx 0.5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

この式も、純粋なガウス分布またはローレンツ分布に対して正確です。同じ出版物^[11]では、わずかに正確（0.012%以内）ですが、大幅に複雑な式が見つかります。

非対称擬似フォークト (マルティネリ) 関数は、ピーク位置の両側に異なる幅を持つ 分割正規分布に似ています。数学的には次のように表現されます。

${\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}$

ここで、 はローレンツ関数の重み、幅は分割関数（に対して、に対して）である。 の極限では、マルティネリ関数は対称擬フォークト関数に戻る。 マルティネリ関数は共鳴非弾性X線散乱装置における弾性散乱をモデル化するために使用されている。^[13]${\displaystyle 0<\eta <1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f=f_{1}}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle f=f_{2}}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle f_{1}\rightarrow f_{2}}$

• http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf は、複雑な誤差関数の数値 C ライブラリであり、約 13 ～ 14 桁の精度を持つ関数voigt(x, sigma, gamma)を提供します。
• 元の記事は次のとおりです: Voigt, Woldemar, 1912, ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspectrums'', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (以下も参照) http://publikationen.badw.de/de/003395768)