大二菱形十二面体

幾何学において、大菱形十二面体（だいりょうがくじょうにんたいじゅうでんたい、または大菱形十二面体）は、非凸一様多面体で、 U ₇₅で最後にインデックス付けされています。124 の面（40 の三角形、60 の正方形、24 の五芒星）、240 の辺、60 の頂点を持ちます。^[1]

これは、頂点で 6 つ以上の面が交わる唯一の非退化均一多面体です。各頂点には、頂点の中心軸 (つまり図形の中心) を通る 4 つの正方形があり、2 つの三角形と 2 つの五芒星が交互に配置されています。もう 1 つの珍しい特徴は、すべての面が同一平面上にあることです。

これはまた、球面三角形からウィトフ作図によって作成できない唯一の均一な多面体です。これは、球面四辺形に関連付けられる特別なウィトフ記号 | 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 3 5 ⁄ 2を持ちます。この記号は、これが一種のスナブ多面体であることを示していますが、ほとんどのスナブ多面体のようにスナブでない面がスナブ三角形に囲まれているのではなく、スナブ四角形に囲まれています。

これは「ミラーの怪物」というニックネームが付けられています ( 1954 年にHSM コクセターおよびMS ロンゲ ヒギンズとともに均一な多面体を列挙した JCP ミラーにちなんで)。

一様多面体の定義を緩和して、辺に隣接する面の数が偶数個でも許容すると、この定義からさらに 1 つの多面体、つまり、頂点と辺は同じだが三角形の面の配置が異なる、大きな不揃いな二菱形十二面体が生成されます。

頂点と辺は、20 個の八面体または20 個の四半六面体の均一な複合体とも共有されています。240 の辺のうち 180 は、大きなスナブ十二十二十二面体と共有されています。

この多面体は、非凸大菱形十二面体（準菱形十二面体）と分岐被覆によって関連している。すなわち、大二菱形十二面体から準菱形十二面体への関数は、頂点を除いてどこでも2対1である。^[2]

ポイントは次のように なります${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\phi ^{-{\frac {1}{2}}}\\0\\\phi ^{-1}\end{pmatrix}}}$、

ここで黄金比である。行列は次のように与えられると する。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1/2&-\phi /2&1/(2\phi )\\\phi /2&1/(2\phi )&-1/2\\1/(2\phi )&1/2&\phi /2\end{pmatrix}}}$。

${\displaystyle M}$は、軸の周りを反時計 回りに角度だけ回転することです。線形変換は、点を 偶数個のマイナス符号を持つの偶数順列に 送る変換とします。変換は、正四面体の回転対称性のグループを構成します。変換、 は、正二十面体 の回転対称性のグループを構成します。すると、60 点は 大二菱二十十二面体の頂点になります。辺の長さは、外接半径は、中半径は に等しくなります。 ${\displaystyle (1,0,\phi )}$${\displaystyle 2\pi /5}$${\displaystyle T_{0},\ldots ,T_{11}}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (\pm x,\pm y,\pm z)}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle T_{i}M^{j}}$ ${\displaystyle (i=0,\ldots ,11}$${\displaystyle j=0,\ldots ,4)}$${\displaystyle T_{i}M^{j}p}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

辺の長さが1である大二菱形十二面体の場合、外接半径は

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$。

その中半径は

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$。

• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド、ロンゲット・ヒギンズ、MS、ミラー、JCP (1954)、「均一多面体」、ロンドン王立協会哲学論文集。シリーズ A。数学および物理科学、246 (916): 401–450、Bibcode :1954RSPTA.246..401C、doi :10.1098/rsta.1954.0003、ISSN  0080-4614、JSTOR  91532、MR  0062446、S2CID  202575183
• ウェニンガー、マグナス（1974）。多面体モデル。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09859-9. OCLC  1738087.
• Har'El, Z. 均一多面体の均一解、Geometriae Dedicata 47、57-110、1993。Zvi Har'El、Kaleido ソフトウェア、画像、デュアル イメージ
• メーダー、RE均一多面体。 Mathematica J. 3、48-57、1993。
• Klitzing、Richard。「3D 均一多面体」。

• Weisstein、Eric W.「大二菱形十二面体」。MathWorld。
• http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/75.html
• http://www.software3d.com/MillersMonster.php