ベス番号

数学、特に集合論において、ベス数は、慣習的に次のように表記される無限基数（超限数とも呼ばれる）の特定の（非集合）数列を形成する。${\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }$、 どこ${\displaystyle \beth }$はヘブライ文字のベトです。ベトの数字はアレフの数字と関連しています（${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots }$）しかし、一般化連続体仮説が真でない限り、${\displaystyle \aleph }$インデックス化されていないもの${\displaystyle \beth }$一方、通常のツェルメロ＝フレンケル集合論では、ベス数は共終数（すべての基数はベス数より小さい）である。

ベス番号は序数によってインデックス付けされ、累積階層の観点から定義されます。${\displaystyle \beth _{\alpha }=|V_{\omega +\alpha }|}$、 どこ${\displaystyle |A|}$は、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle \omega }$は最初の無限順序数である。特に、${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$、そしてカントールの定理と超限帰納法により、ベス数列は厳密に増加することがわかる。${\displaystyle |A|^{|B|}}$は、関数の集合の濃度です。${\displaystyle B}$に${\displaystyle A}$、 それで$2^{|B|}}$は冪集合の濃度です${\displaystyle B}$）

${\displaystyle \beth _{0}=|V_{\omega }|=|\omega |=\aleph _{0}}$。 一般的に、$\beth_{\alpha} \not < \aleph_{\alpha}$序数の場合${\displaystyle \alpha }$、 そして$\displaystyle \aleph _{\alpha }\leq \beth _{\alpha }}$すべての制限順序数${\displaystyle \alpha }$選択公理は、この不等式が一般的に成り立つことを示唆している。

2番目のベス番号$\displaystyle \beth _{1}}$に等しい${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$連続体の濃度（実数集合の濃度）、および3番目のベス数$\displaystyle \beth _{2}}$これは、連続体の冪集合の濃度です。

アレフ数と同様に、ベス数も冪等性を持つ。$\beth_{\alpha}^2=\beth_{\alpha}}$これは、2つの点から超限帰納法によって導かれる。

• ${\displaystyle V_{\lambda }\times V_{\lambda }\subseteq V_{\lambda }}$すべての制限順序数${\displaystyle \lambda }$; そして

• ${\displaystyle (2^{\mathfrak {p}})^{2}=2^{2{\mathfrak {p}}}=2^{\mathfrak {p}}}$すべての冪等基数に対して${\displaystyle {\mathfrak {p}}\geq 2}$。

選択公理は、すべての基数集合には上限があり、任意の集合に対して${\displaystyle \mathbb {S} }$、そのすべての要素の和集合は、その要素の濃度の最大値と自身の濃度の積を超えることはできない。したがって（公理を考慮すると）、$\beth_{\lambda} = \sup{\Bigl\{}\beth_{\alpha}:\alpha < \lambda{\Bigr}}}$すべての制限順序数${\displaystyle \lambda }$。

この動作は後続順序数とは異なることに注意してください。選択公理があっても、$\displaystyle \beth _{\alpha +1}}$しかし、${\displaystyle \beth _{\alpha }}$存在し得る。（この場合、存在はZFCでは決定不能であり、一般化連続体仮説によって制御される。）

選択公理（ツェルメロ＝フレンケル集合論が一貫していると仮定した場合）を用いても、アレフ数との関係については、上記で述べた以上のことはほとんど分からない。例えば、$\displaystyle \beth _{1}}$できない${\displaystyle \aleph _{\omega }}$しかし、次のようなモデルがあります。${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{\omega +1}}$。

選択公理を仮定すると、無限の濃度は線形に順序付けられます。2つの濃度が比較できないということはあり得ません。$\beth_{\alpha} \not < \aleph_{\alpha}$公理によれば、 $\beth_{\alpha} \geq \aleph_{\alpha}}$ すべての序数について${\displaystyle \alpha }$。

選択公理を考慮すると、連続体仮説は以下と同等である。

${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

選択公理がない場合でも、実数直線の部分集合に関するカントールの懸念に対処する記述は存在するが、実数直線が整列順序を持つことを明らかに示唆するものではない。例えば、仮説の1つのバージョンは次のとおりである。$\displaystyle {\mathfrak {p}}\leq \beth _{0}}$すべての基数に対して${\displaystyle {\mathfrak {p}}<\beth _{1}}$。

一般化された連続体仮説は、上記の主張を他の指標に拡張します。ある定式化では、ベス数の列はアレフ数の列と同じである、つまり、 ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ すべての序数について${\displaystyle \alpha }$この主張は明らかに選択公理を暗示している。なぜならベス数は共終数だからである。（ツェルメロ＝フレンケル集合論では、${\displaystyle A\subseteq V_{\omega +\alpha }}$一部の人にとって${\displaystyle \alpha }$、 それで${\displaystyle |A|\leq |V_{\omega +\alpha }|=\beth _{\alpha }}$という記述から、${\displaystyle |A|\leq \aleph _{\alpha }}$そこから${\displaystyle A}$連続体仮説のさまざまな定式化はさまざまな一般化を示唆するが、既知の「妥当な」一般化は同等であり、選択公理を暗示することが判明しているが、証明はより困難である。

より一般的な記号${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$序数の場合${\displaystyle \alpha }$そしてカーディナル${\displaystyle \kappa }$は時折使用される。選択公理を前提とすると、それは次のように定義される。

${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}$λが極限順序数である場合。

選択公理がない場合、定義はより複雑になります。主な難点は、無限の互いに素な和集合の濃度を構成要素の濃度から計算できないことです。再帰を使用して、次のように定義します。${\displaystyle W_{\alpha }(A)}$次のように：

${\displaystyle W_{0}(A)=A,}$

${\displaystyle W_{\alpha +1}(A)={\mathcal {P}}(W_{\alpha }(A)),}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha \in \lambda }(\{\alpha \}\times W_{\alpha }(A))}$λが極限順序数である場合。

注射を投与される${\displaystyle f:A\to B}$再帰的に注入を構築できます${\displaystyle g_{\alpha }:W_{\alpha }(A)\to W_{\alpha }(B)}$。 もし${\displaystyle f}$が全単射であれば、${\displaystyle g_{\alpha }}$基数に対するマッピングを次のように定義できます。${\displaystyle \beth _{\alpha }(|A|)=|W_{\alpha }(A)|}$。

選択公理を用いれば容易に、あるいはより綿密な議論を行えば、次のことが導かれる。

${\displaystyle \beth _{\omega +\alpha }(0)=\beth _{\alpha },}$

どこ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$は普通のベス数であり、

${\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }({\mathfrak {p}}))=\beth _{\alpha +\beta }({\mathfrak {p}}).}$

特に、${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\beth _{\omega }(0))=\beth _{\alpha }(\beth _{0})=\beth _{\alpha }(\aleph _{0})}$任意の基数に対して${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$および任意の序数${\displaystyle \alpha \supseteq \omega ^{2}}$、${\displaystyle \beth _{\alpha }({\mathfrak {p}})\geq \beth _{\alpha }(0)=\beth _{\alpha -\omega }=\beth _{\alpha }}$。 一方で、${\displaystyle {\mathfrak {p}}\leq \beth _{\beta }}$一部の人にとって${\displaystyle \beta }$、したがって${\displaystyle \beth _{\alpha }({\mathfrak {p}})\leq \beth _{\alpha }(\beth _{\beta })=\beth _{\beta +\alpha }=\beth _{\alpha }}$大型${\displaystyle \alpha }$（例：${\displaystyle \omega }$コピー${\displaystyle \beta }$直線状に積み重ねる）。したがって、すべての基数に対して${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$序数があります${\displaystyle \alpha _{0}}$そのため

${\displaystyle \beth _{\alpha }({\mathfrak {p}})=\beth _{\alpha }}$すべての序数${\displaystyle \alpha \supseteq \alpha _{0}}$。

これは、原初要素を持つツェルメロ・フレンケル集合論（選択公理の有無にかかわらず）においても成り立つ。ただし、原初要素が純粋集合（推移閉包に原初要素を含まない集合）と同数である集合を形成する場合に限る。選択公理が成り立つ場合、任意の原初要素の集合は純粋集合と同数である。（もし${\displaystyle A}$がどの純粋集合とも等数でない場合、集合論の何の対象がその濃度になるのかは明らかではない。${\displaystyle \beth _{\alpha }(|A|)}$しかし、それでも構築することは可能です${\displaystyle W_{\alpha }(A)}$上記のとおり、そしてもし${\displaystyle B}$と同数である${\displaystyle A}$それから${\displaystyle W_{\alpha }(B)}$と同数である${\displaystyle W_{\alpha }(A)}$）

ボレル決定性は、可算指数を持つすべてのベスの存在によって示唆される。^{[ 4 ]}

• 数えられない集合