トゥシ夫婦

トゥーシカップル（トゥーシの機構^{[1] [2] [3]}とも呼ばれる）は、小さな円がその直径の2倍の大きな円の内側で回転する数学的な装置です。円の回転により、小さな円の円周上の点が、大きな円の直径に沿って直線運動で前後に振動します。トゥーシカップルは2つの尖端を持つ内サイクロイドです。

この対は、13世紀のペルシャの 天文学者で数学者の ナスィールッディーン・トゥーシが1247年に著した『アルマゲスト注釈』の中で、内惑星の緯度方向の運動に対する解答として初めて提案され^{[4] 、後に}プトレマイオスの『アルマゲスト』で千年以上前に導入された等量の代用として広く使われた。^{[5] [6]}

トゥーシの幾何学的モデルのオリジナルの説明のコピーの翻訳では、図に見られるモデルの少なくとも 1 つの反転が示唆されています。

直径が一方の円の半分に等しい同一平面上の二つの円が一点で内部接しているとし、小さい方の円上に点をとり、それを接点とすると、二つの円が反対方向に単調な動きをし、小さい方の円の動きが大きい方の円の二倍で、大きい方の円が一回転するごとに小さい方の円が二回転するとすると、その点は、接点を最初に通過する大きい方の円の直径上を、端点の間を振動しながら動いているように見える。^[8]

説明は首尾一貫しておらず、幾何学モデルの可能な反転と不可能な反転の両方の特徴を恣意的に組み合わせているように見えます。

代数的に、このモデルは複素数で次のように表現できる。

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)e^{i\theta }-{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }=i\,\sin \theta .}$

他の解説者は、トゥシカップルは、内側の円の回転が、その接点が固定された外側の円に沿って動くときに滑りなしの条件を満たす、 回転曲線として解釈できると指摘しています。

「トゥーシ夫婦」という用語は、1966年にエドワード・スチュワート・ケネディによって造られた現代的な用語である。 ^[9]これは、ニコラウス・コペルニクスの『天体回転論』のモデル（水星モデルや不安の理論を含む）と驚くほど類似した、後期イスラムの天文学的装置のうちの1つである。歴史家は、コペルニクスまたは他のヨーロッパの著者がアラビアの天文学のテキストにアクセスしたと疑っているが、正確な伝承の連鎖はまだ特定されていない。^[10] 16世紀の科学者で旅行家のギヨーム・ポステルが、その仲介者の1人である可能性が示唆されている。^{[11] [12]}

コペルニクスが数理天文学を再定式化する際にトゥーシ夫妻を利用していたため、彼が何らかの方法でこの考えに気付いたという見解が広まりつつある。トゥーシ夫妻の考えは、アラビア語のテキストをラテン語に翻訳することなくヨーロッパに伝わった可能性があるため、写本の痕跡をほとんど残さずに伝わった可能性があると示唆されている [ 13 ^{] [14] 。伝来の可能性のある経路の 1 つは}ビザンチン科学によるもので、グレゴリー・キオニアデスはトゥーシの著作の一部をアラビア語からビザンチンギリシャ語に翻訳した。トゥーシ夫妻を含むビザンチンギリシャ語の写本がイタリアにいくつか現存している^[15] 。 別の可能性としては、彼がイタリア留学中に「曲線の直線化」（Sefer Meyasher 'Aqov）の写本に遭遇したというものである^{[16] 。}

円運動を往復直線運動に変換するこの数学モデルについては、他にも出典がある。それはプロクロスの 『ユークリッド第一書注解』^[17]に見られ、その概念は14世紀半ばにはパリで知られていた。ニコル・オレームは球面に関する質問（1362年以前に書かれた）の中で、円運動を組み合わせて惑星の周転円の半径に沿った往復直線運動を生み出す方法を説明した。オレームの記述は不明瞭で、これが独自の発明なのか、あまり理解されていないアラビア語のテキストを理解しようとする試みなのかは定かではない。^[18]

トゥーシのカップルは天文学的な文脈で開発されたが、その後の数学者や技術者が、後にハイポサイクロイド直線機構と呼ばれるようになる類似のバージョンを開発した。数学者のジェロラモ・カルダーノは、カルダン運動（カルダンギアとも呼ばれる）として知られるシステムを設計した。 ^[19] 19世紀の技術者ジェームズ・ホワイト、^[20] マシュー・マレー、^[21]およびその後の設計者たちは、ハイポサイクロイド直線機構の実用的な応用を開発した。

外部リムギアの使用を回避した、実用的で機械的にシンプルなバージョンの Tusi カップルは、直線運動を提供するために、2021 年に John Goodman によって開発されました。^{[22] [検証失敗] [疑わしい–議論]} 3 つの標準平歯車を使用します。回転する (青) アームが中央シャフトに取り付けられ、その中央シャフトに固定された (黄) ギアが取り付けられています。アームの (赤) アイドラーギアは固定ギアとかみ合います。3 番目の (緑) ギアはアイドラーとかみ合います。3 番目のギアの歯数は固定ギアの半分です。(オレンジ) アームは 3 番目のギアに固定されています。アームの長さが固定ギアと外側のギアの間の距離 = d に等しい場合、アームはスロー = 2d の直線を描きます。この設計の利点は、必要なスローを提供しない標準モジュラスギアの場合、アイドラーギアが他の 2 つのギアと共線である必要がないことです。

トゥーシカップルの特性は、円周上にない内円上の点が楕円を描くことである。これらの楕円と古典的なトゥーシカップルが描く直線は、下トロコイドの特殊なケースである。^[23]

• マレーのハイポサイクロイドエンジンは、クロスヘッドガイドや平行移動の代わりにトゥシカップルを使用しています。
• 遊星歯車装置
• 直線機構
• スピログラフ
• 幾何学旋盤
• ギヨシェ
• 三角筋曲線

ウィキメディア・コモンズには、 Tusi-coupleに関連するメディアがあります。

• ディ・ボノ、マリオ (1995)。「コペルニクス、アミコ、フラカストロ、トゥーシの装置：モデルの使用と伝達に関する観察」。天文学史ジャーナル。26 (2): 133–154。Bibcode : 1995JHA ....26..133D。doi : 10.1177/002182869502600203。S2CID  118330488。
• ケネディ、ES（1966）。「中世後期の惑星理論」Isis。57 （ 3 ） ：365–378。doi ：10.1086 / 350144。S2CID 143569912  。
• クレン、クラウディア (1971)。「ニコル・オレムの『デ・スペラ』におけるナシル・アル・ディーン・アル・トゥーシーの転がし装置」。Isis。62 ( 4 ) : 490–498。doi : 10.1086/350791。S2CID  144526697。
• Ragep, FJ「トゥーシ族の夫婦の2つのバージョン」『From Deferent to Equant: A Volume of Studies in the History of Science in Ancient and Medieval Near East in Honor of ES Kennedy 』、David King および George Saliba 編、Annals of the New York Academy of Sciences、500ページ。New York Academy of Sciences、1987 年。ISBN 0-89766-396-9 (ペーパーバック) 
• Ragep, FJ Nasir al-Din al-Tusi の「天文学に関する回想録」、 Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences、12。2 巻。ベルリン/ニューヨーク: Springer、1993 年。ISBN 3-540-94051-0 / ISBN 0-387-94051-0。  

• Dennis W. Duke の「古代惑星モデルアニメーション」には、興味深いリンクが 2 つ含まれています。
  • インタラクティブなトゥシ族のカップル
  • 等量記号を置き換えるアラビア語モデル
• ジョージ・サリバ、「ルネサンス期のヨーロッパにおけるアラビア科学は誰の科学か？」では、ナスィールッディーン・アルトゥースィーのモデルと、アラビア、ギリシャ、ラテンの天文学者の交流について論じています。