ウィラム・ヴァルンケ収量基準

ウィリアム・ワーンケ降伏条件^{[ 1 ]}は、コンクリートや岩石、土壌、セラミックなどの凝集摩擦材料において、破壊が発生する時期を予測するために用いられる関数である。この降伏条件は、以下の関数形式で表される。

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$

どこ${\displaystyle I_{1}}$はコーシー応力テンソルの第1不変量であり、${\displaystyle J_{2},J_{3}}$これらはコーシー応力テンソルの偏差部分の第2および第3不変量です。材料パラメータは3つあります（$\displaystyle \sigma _{c}}$- 一軸圧縮強度、$\displaystyle \sigma _{t}}$– 一軸引張強度、$\displaystyle \sigma _{b}}$- ウィリアム・ワーンケ降伏基準を適用して破壊を予測する前に決定しなければならない等二軸圧縮強度。

に関しては${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$ウィリアム・ワーンケ降伏条件は次のように表すことができる。

${\displaystyle f:={\sqrt {J_{2}}}+\lambda (J_{2},J_{3})~({\tfrac {I_{1}}{3}}-B)=0}$

どこ${\displaystyle \lambda }$は、${\displaystyle J_{2},J_{3}}$そして３つの材料パラメータと${\displaystyle B}$材料パラメータのみに依存します。${\displaystyle \lambda }$摩擦角として解釈することができ、これはローデ角に依存します（${\displaystyle \theta }$数量${\displaystyle B}$これは凝集圧力として解釈される。したがって、ウィリアム・ワーンケ降伏条件は、モール・クーロン降伏条件とドラッカー・プラガー降伏条件の組み合わせと見なすことができる。

原論文では、3パラメータのWillam-Warnke降伏関数は次のように表現された。

${\displaystyle f={\cfrac {1}{3z}}~{\cfrac {I_{1}}{\sigma _{c}}}+{\sqrt {\cfrac {2}{5}}}~{\cfrac {1}{r(\theta )}}{\cfrac {\sqrt {J_{2}}}{\sigma _{c}}}-1\leq 0}$

どこ${\displaystyle I_{1}}$は応力テンソルの第一不変量であり、${\displaystyle J_{2}}$は、応力テンソルの偏差部分の第2不変量であり、$\displaystyle \sigma _{c}}$は一軸圧縮における降伏応力であり、${\displaystyle \theta }$ローデ角は次のように表されます。

${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{-1}\left({\cfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}\right)~.}$

偏差応力平面における応力面の境界の軌跡は、極座標で次の量で表される。${\displaystyle r(\theta )}$これは次のように与えられる

${\displaystyle r(\theta ):={\cfrac {u(\theta )+v(\theta )}{w(\theta )}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}u(\theta ):=&2~r_{c}~(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})~\cos \theta \\v(\theta ):=&r_{c}~(2~r_{t}-r_{c}){\sqrt {4~(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})~\cos ^{2}\theta +5~r_{t}^{2}-4~r_{t}~r_{c}}}\\w(\theta ):=&4(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})\cos ^{2}\theta +(r_{c}-2~r_{t})^{2}\end{aligned}}}$

数量$\displaystyle r_t$そして$\displaystyle r_c}}$位置ベクトルを記述する$\displaystyle \theta =0^{\circ },60^{\circ }}$そして、${\displaystyle \sigma _{c},\sigma _{b},\sigma _{t}}$（ここで）$\displaystyle \sigma _{b}}$は等二軸圧縮下での破壊応力であり、$\displaystyle \sigma _{t}}$（一軸引張時の破壊応力）

${\displaystyle r_{c}:={\sqrt {\cfrac {6}{5}}}\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{3\sigma _{b}\sigma _{t}+\sigma _{c}(\sigma _{b}-\sigma _{t})}}\right]~;~~r_{t}:={\sqrt {\cfrac {6}{5}}}\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{c}(2\sigma _{b}+\sigma _{t})}}\right]}$

パラメータ${\displaystyle z}$モデルでは、

${\displaystyle z:={\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{c}(\sigma _{b}-\sigma _{t})}}~.}$

ウィリアム・ワーンケ降伏条件のハイ・ウェスターガード表現は次のように記述できる。

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,\quad \equiv \quad f:={\bar {\lambda }}(\theta )~\rho +{\bar {B}}~\xi -\sigma _{c}\leq 0}$

どこ

${\displaystyle {\bar {B}}:={\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~z}}~;~~{\bar {\lambda }}:={\cfrac {1}{{\sqrt {5}}~r(\theta )}}~.}$

ハイグ・ウェスターガード座標系におけるウィリアム・ワーンケ降伏条件の別の形式は、ウルム・クーシー・バザント形式である。^{[ 2 ]}

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,\quad {\text{または}}\quad f:=\rho +{\bar {\lambda }}(\theta )~\left(\xi -{\bar {B}}\right)=0}$

どこ

${\displaystyle {\bar {\lambda }}:={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~{\cfrac {u(\theta )+v(\theta )}{w(\theta )}}~;~~{\bar {B}}:={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{b}-\sigma _{t}}}\right]}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{t}:=&{\cfrac {{\sqrt {3}}~(\sigma _{b}-\sigma _{t})}{2\sigma _{b}-\sigma _{t}}}\\r_{c}:=&{\cfrac {{\sqrt {3}}~\sigma _{c}~(\sigma _{b}-\sigma _{t})}{(\sigma _{c}+\sigma _{t})\sigma _{b}-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\end{aligned}}}$

数量$\displaystyle r_{c},r_{t}}$これらは摩擦係数として解釈される。降伏面が凸であるためには、ウィリアム・ワーンケ降伏条件は以下を要求する。${\displaystyle 2~r_{t}\geq r_{c}\geq r_{t}/2}$そして$\displaystyle 0\leq \theta \leq {\cfrac {\pi }{3}}}$。

• 歩留まり（工学）
• 降伏面
• 塑性（物理学）

• Chen, WF (1982).鉄筋コンクリートの塑性. McGraw Hill. ニューヨーク.

• カスパー・ウィリアムとE・P・ワーンケ（1974）。コンクリートの三軸挙動に関する構成モデル
• パルコ、JL（1993）。ウィスカー強化セラミックスの対話型信頼性モデル
• 「チャネル」火災。I：急速に加熱されたコンクリートの化学塑性軟化、フランツ＝ヨーゼフ・ウルム、オリヴィエ・クーシー、ズデネク・P・バザント著。