ドラッカー・プラガーの収率基準

Drucker –Prager降伏基準^{[ 1 ]}は、材料が破壊したか塑性降伏したかを判定するための圧力依存モデルです。この基準は、土壌の塑性変形を扱うために導入されました。この基準とその多くの変形は、岩石、コンクリート、ポリマー、発泡体、その他の圧力依存材料に適用されています。

ドラッカー・プラガーの収量基準は次の形式をとる。

$\displaystyle {\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}}$

どこ${\displaystyle I_{1}}$はコーシー応力の第1不変量であり、${\displaystyle J_{2}}$は、コーシー応力の偏差部分の第2不変量です。定数${\displaystyle A,B}$実験によって決定される。

等価応力（またはフォンミーゼス応力）と静水圧（または平均）応力に関して、ドラッカー・プラガー基準は次のように表すことができます。

$\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m}}$

どこ$\displaystyle \sigma _{e}}$は等価応力であり、$\displaystyle \sigma _{m}}$は静水圧応力であり、 ${\displaystyle a,b}$は材料定数である。ハイグ・ウェスターガード座標で表したドラッカー・プラガー降伏条件は次のようになる。

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A}$

Drucker –Prager降伏面は、 Mohr–Coulomb降伏面の滑らかなバージョンである。

Drucker–Pragerモデルは、主応力を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle {\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})~.}$

もし$\displaystyle \sigma _{t}}$は一軸引張における降伏応力であり、Drucker–Prager基準によれば、

$\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.}$

もし$\displaystyle \sigma _{c}}$は一軸圧縮における降伏応力であり、Drucker–Prager基準によれば、

$\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=AB~\sigma _{c}~.}$

これら2つの方程式を解くと、

${\displaystyle A={\cfrac {2}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.}$

Drucker–Pragerモデルは、ポリオキシメチレンやポリプロピレンなどのポリマーのモデリングに使用されています。^{[ 3 ]} ポリオキシメチレンの場合、降伏応力は圧力の線形関数です。しかし、ポリプロピレンは降伏応力が圧力の2乗に依存することを示しています。

発泡体の場合、GAZTモデル^{[ 4 ]}は

${\displaystyle A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s}}}\right)}$

どこ${\displaystyle \sigma _{y}}$引張または圧縮における破壊の臨界応力であり、${\displaystyle \rho }$はフォームの密度であり、${\displaystyle \rho _{s}}$これは基材の密度です。

ドラッカー・プラガー基準は、別の形で表現することもできる。

${\displaystyle J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.}$

Drucker–Prager降伏条件の異方性形式として、Liu–Huang–Stout降伏条件がある。^{[ 7 ]}この降伏条件は、一般化されたHill降伏条件 の拡張であり、次の形式をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\end{aligned}}}$

係数${\displaystyle F,G,H,L,M,N,I,J,K}$は

${\displaystyle {\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _{1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2}-\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2}^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{12}^{y})^{2}}}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3}:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}}$

そして${\displaystyle \sigma _{ic},i=1,2,3}$は、異方性の３つの主方向における圧縮時の単軸降伏応力であり、${\displaystyle \sigma _{it},i=1,2,3}$は引張における一軸降伏応力であり、 ${\displaystyle \sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y}}$は純せん断における降伏応力である。上記では、これらの量が${\displaystyle \sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c}}$肯定的で${\displaystyle \sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t}}$負の値です。

Drucker–Prager基準は、圧力に依存しない以前のDrucker基準^{[ 8 ]と混同してはならない（}${\displaystyle I_{1}}$) ドラッカーの収率基準は次の形式をとる。

${\displaystyle f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0}$

どこ${\displaystyle J_{2}}$は偏差応力の第二不変量であり、${\displaystyle J_{3}}$は偏差応力の3番目の不変量であり、${\displaystyle \alpha }$は、-27/8 から 9/4 の間の定数です (降伏面が凸になる場合)。${\displaystyle k}$は、の値によって変化する定数です。${\displaystyle \alpha }$。 のために${\displaystyle \alpha =0}$、${\displaystyle k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}}$どこ${\displaystyle \sigma _{y}}$これは一軸引張における降伏応力です。

Drucker降伏条件の異方性バージョンはCazacu–Barlat (CZ) 降伏条件^{[ 9 ]}であり、その形式は次のようになる。

${\displaystyle f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0}$

どこ${\displaystyle J_{2}^{0},J_{3}^{0}}$これらは偏差応力の一般化された形式であり、次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\}\sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{(b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _{33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_{10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2}\right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{22}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}}$

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