丘陵降伏基準

ロドニー・ヒルによって開発されたヒル降伏基準は、異方性塑性変形を記述するためのいくつかの降伏基準の 1 つです。最も初期のバージョンは、フォン・ミーゼス降伏基準を単純に拡張したもので、2 次形式でした。このモデルは後に指数m を許容することで一般化されました。これらの基準のバリエーションは、金属、ポリマー、および特定の複合材料に広く使用されています。

二次ヒル降伏基準^[1]は次の式で表される。

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}=1~.}$

ここで、F、G、H、L、M、N は実験的に決定しなければならない定数であり、応力です。2 次ヒル降伏基準は偏差応力のみに依存し、圧力に依存しません。引張と圧縮で同じ降伏応力を予測します。 ${\displaystyle \sigma_{ij}}$

物質の異方性の軸が直交していると仮定すると、次のように書ける。

${\displaystyle (G+H)~(\sigma _{1}^{y})^{2}=1~;~~(F+H)~(\sigma _{2}^{y})^{2}=1~;~~(F+G)~(\sigma _{3}^{y})^{2}=1}$

ここで、異方性の軸に対する通常の降伏応力です。したがって、 ${\displaystyle \sigma _{1}^{y},\sigma _{2}^{y},\sigma _{3}^{y}}$

${\displaystyle F={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]}$

${\displaystyle G={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]}$

${\displaystyle H={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]}$

同様に、せん断降伏応力が（異方性の軸に関して）の場合、 ${\displaystyle \tau _{12}^{y},\tau _{23}^{y},\tau _{31}^{y}}$

${\displaystyle L={\cfrac {1}{2~(\tau _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2~(\tau _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2~(\tau _{12}^{y})^{2}}}}$

薄板圧延板（平面応力条件）の二次ヒル降伏条件は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}$

ここで、主応力は圧延方向内では異方性の軸と、圧延方向に垂直な方向では異方性の軸と一致すると仮定し、は圧延方向のR値、は圧延方向に垂直な R値です。${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{3}=0}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{90}}$

横方向等方性の特別なケースでは、次の式が得られます。 ${\displaystyle R=R_{0}=R_{90}}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R}{1+R}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}$

一般化されたヒル降伏基準^[2]は次の式で表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}&+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+M|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}=\sigma _{y}^{m}~.\end{aligned}}}$

ここで、は主応力（異方性の方向と一致します）、は降伏応力、F、 G、 H、 L、 M、 Nは定数です。 mの値は材料の異方性の度合いによって決まり、降伏面の凸性を保証するには 1 より大きくなければなりません。 ${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$

が対称面である横方向等方性材料の場合、一般化ヒル降伏条件は次のように簡約される（および） ${\displaystyle 1-2}$${\displaystyle F=G}$${\displaystyle L=M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f:=&F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+L|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0\end{aligned}}}$

R値またはランクフォード係数は、の状況を考慮することによって決定できます。R値は次のように与えられます。 ${\displaystyle \sigma _{1}>(\sigma _{2}=\sigma _{3}=0)}$

${\displaystyle R={\cfrac {(2^{m-1}+2)L-N+H}{(2^{m-1}-1)L+2N+F}}~.}$

平面応力条件下では、いくつかの仮定のもとで、一般化ヒル基準はいくつかの形をとることができる。^[3]

• ケース1: ${\displaystyle L=0,H=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})-{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• ケース2: ${\displaystyle N=0,F=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(1-2^{m-1})(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-{\cfrac {1}{(1-2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• ケース3: ${\displaystyle N=0,H=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|\sigma _{1}|^{m}-|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• ケース4: ${\displaystyle L=0,F=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{2(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+{\cfrac {1}{2(1+R)}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• ケース5:これは ホスフォード降伏基準です。${\displaystyle L=0,N=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

一般化ヒル降伏条件のこれらの形式を使用する場合は注意が必要である。なぜなら、との組み合わせによっては降伏面が凹状になる（場合によっては無限大になる）からである。^[4]${\displaystyle R}$${\displaystyle m}$

1993年にヒルは平面異方性を持つ平面応力問題に対する別の降伏基準^[5]を提案した。ヒル93基準は次の式で表される。

${\displaystyle \left({\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{0}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{90}}}\right)^{2}+\left[(p+q-c)-{\cfrac {p\sigma _{1}+q\sigma _{2}}{\sigma _{b}}}\right]\left({\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{0}\sigma _{90}}}\right)=1}$

ここで、は圧延方向の一軸引張降伏応力、は圧延方向に垂直な方向の一軸引張降伏応力、は均一な二軸引張下での降伏応力、およびは次のように定義されるパラメータである 。${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma _{90}}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle c,p,q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\cfrac {\sigma _{0}}{\sigma _{90}}}+{\cfrac {\sigma _{90}}{\sigma _{0}}}-{\cfrac {\sigma _{0}\sigma _{90}}{\sigma _{b}^{2}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~p&={\cfrac {2R_{0}(\sigma _{b}-\sigma _{90})}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}-{\cfrac {2R_{90}\sigma _{b}}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{0}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~q&={\cfrac {2R_{90}(\sigma _{b}-\sigma _{0})}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}-{\cfrac {2R_{0}\sigma _{b}}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{90}}}\end{aligned}}}$

は圧延方向の一軸張力に対する R 値であり、 は圧延方向に垂直な面内方向の一軸張力に対する R 値です。 ${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{90}}$

ヒルの降伏基準のオリジナルバージョンは、ポリマーやフォームをモデル化するために必要な圧力依存の降伏面を持たない材料用に設計されました。

圧力依存性を考慮した拡張は、Caddell-Raghava-Atkins（CRA）モデル^[6]であり、その形式は次の通りである 。

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}=1~.}$

ヒルの二次降伏条件の圧力依存拡張でブレスラー・ピスター降伏条件に似た形を持つもう一つの例として、ハニカム構造（サンドイッチ複合構造に使用）に対するデシュパンデ、フレック、アシュビー（DFA）降伏条件^[7]がある。この降伏条件は次のような形をしている。

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+K(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})^{2}=1~.}$

• 異方性塑性に対するローガン・ホスフォード降伏基準

• アルミニウムの降伏基準