工学における数学的構成
断面 二次モーメント 、または 二次断面モーメント 、あるいは 二 次断面モーメントは、 断面 の 幾何学的特性であり、 任意の軸に対する点の分布を反映します。 断面二次モーメントは通常、 (軸が断面の平面内にある場合) または (平面に垂直な軸の場合) のいずれかで表されます。 どちらの場合も、問題のオブジェクトに対する 倍数積分 で計算されます 。 その寸法は、L (長さ) の 4 乗です。 国際単位系 を使用する場合の寸法の 単位は 、メートルの 4 乗 m 4 であり、ヤード・ポンド法 または 米国慣用単位系 を使用する場合はインチの 4 乗 in 4 です。
私
{\displaystyle I}
J
{\displaystyle J}
構造工学 において、 梁 の断面二次モーメントは、 梁の たわみの計算や梁に加えられた モーメント によって生じる 応力 の計算に使用される重要な特性です 。断面二次モーメントを最大化するために、 I 型梁 の 断面積の大部分は 、I 型梁 の断面の 重心 から可能な限り最大距離に配置されます。 平面 断面二次モーメントは、 梁の形状の関数として、 中立軸 に垂直に加え られたモーメント、 力 、または分布 荷重による梁の 曲げ抵抗についての知見を提供します。 極 断面二次モーメントは、梁の形状の関数として、断面に平行に加えられたモーメントによる梁のねじりたわみに対する抵抗についての知見を提供し ます 。
慣性モーメント (MOI) という用語は、さまざまな分野で さまざまなモーメント を指すために使用されます。これは、平面の 断面 二次モーメント (多くの場合 、または 何らかの基準平面に対して)、または 極の 断面二次モーメント ( 、ここで r は何らかの基準軸までの距離) のいずれかを指す場合があります。いずれの場合も、積分は 、 何らかの 2 次元断面における 面積 dAのすべての微小要素にわたって行われます。 物理学 では、 慣性モーメントは 厳密には、軸からの距離に関する 質量 の二次モーメントです。 、ここで r は 潜在的な回転軸までの距離であり、積分は、物体 Q が占める 3 次元空間における質量 dm のすべての微小要素にわたって行われます 。 この 意味 で 、 MOI は回転問題における質量の類似物です。工学 (特に機械工学と土木工学) では、 慣性モーメントは 一般に面積二次モーメントを指します。 [1]
私
x
=
∬
R
ええ
2
d あ
{\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}
私
ええ
=
∬
R
x
2
d あ 、
{\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA,}
私 =
∬
R
r
2
d あ
{\textstyle I=\iint _{R}r^{2}\,dA}
私 =
∫
質問
r
2
d メートル
{\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}
意味 任意の形状。ρ は要素 d A までの距離で 、 x 軸と y 軸上に投影された x と y を 持ちます。 任意の軸 （ 軸は隣の図には描かれていないが、 x 軸と y 軸と同一平面にあり、 線分に垂直な軸）に対する任意の形状 R の面積の2次モーメントは
次
のように定義される。
B
B ′
{\displaystyle BB'}
B
B ′
{\displaystyle BB'}
ρ
{\displaystyle \rho}
J
B
B ′
=
∬
R
ρ
2
d あ
{\displaystyle J_{BB'}=\iint _{R}{\rho }^{2}\,dA}
d あ
{\displaystyle dA}
は無限小面積要素であり、
ρ
{\displaystyle \rho}
軸からの距離である 。 [2]
B
B ′
{\displaystyle BB'}
例えば、所望の基準軸がx軸である場合、面積の2次モーメント （ と表記されることが多い）は、 直交座標 で次のように
計算できる。
私
x x
{\displaystyle I_{xx}}
私
x
{\displaystyle I_{x}}
私
x
=
∬
R
ええ
2
d x d ええ
{\displaystyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dx\,dy}
細長い梁のオイラー・ベルヌーイ理論 では、面積の 2 番目のモーメントが重要です 。
面積積モーメント より一般的には、 積面積モーメントは 次のように定義される [3]
私
x ええ
=
∬
R
ええ x d x d ええ
{\displaystyle I_{xy}=\iint _{R}yx\,dx\,dy}
平行軸定理 重心 軸 x を持つ図形。平行軸定理を使用して、 x' 軸に関する面積の 2 次モーメントを求めることができます 。 図形の重心 軸とは異なる軸 に関する図形の面積2次モーメントを計算する必要がある場合もあります。しかし、重心軸に関する面積2次モーメントを導出し 、平行軸定理を使用して軸に関する面積2次モーメントを導出する方 が簡単な場合がよくあります 。平行軸定理は
、
x ′
{\displaystyle x'}
x
{\displaystyle x}
x ′
{\displaystyle x'}
私
x ′
=
私
x
+ あ
d
2
{\displaystyle I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}}
あ
{\displaystyle A}
は図形の面積であり、
d
{\displaystyle d}
は軸と軸 の間の垂直距離である 。 [4] [5]
x
{\displaystyle x}
x ′
{\displaystyle x'}
軸と平行な重心軸 についても同様のことが言えます 。または、一般的には、任意の重心 軸と平行 軸についても同様です。
ええ ′
{\displaystyle y'}
ええ
{\displaystyle y}
B
{\displaystyle B}
B ′
{\displaystyle B'}
垂直軸定理 計算を簡単にするために、極モーメント（垂直軸を基準）を 2 つの慣性モーメント（どちらも面内軸を基準）で定義することが望まれることがよくあります。最も単純なケースは、 および に関連します 。
J
ず
{\displaystyle J_{z}}
私
x
{\displaystyle I_{x}}
私
ええ
{\displaystyle I_{y}}
J
ず
=
∬
R
ρ
2
d あ =
∬
R
（
x
2
+
ええ
2
）
d あ =
∬
R
x
2
d あ +
∬
R
ええ
2
d あ =
私
x
+
私
ええ
{\displaystyle J_{z}=\iint _{R}\rho ^{2}\,dA=\iint _{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)dA=\ iint _{R}x^{2}\,dA+\iint _{R}y^{2}\,dA=I_{x}+I_{y}}
この関係は、と を 関連付ける ピタゴラスの定理 と、 積分の線形性 に依存しています 。
x
{\displaystyle x}
ええ
{\displaystyle y}
ρ
{\displaystyle \rho}
複合形状 より複雑な領域の場合、多くの場合、その領域を一連の「より単純な」形状に分割する方が簡単です。形状全体の面積の 2 次モーメントは、共通軸を中心としたすべての部分の面積の 2 次モーメントの合計です。これには「欠落」している形状 (穴、中空形状など) が含まれる場合があり、その場合、「欠落」している領域の面積の 2 次モーメントは加算されるのではなく減算されます。つまり、「欠落」している部分の面積の 2 次モーメントは、複合形状の方法では負と見なされます。
例 他の形状については、面積の 2 次モーメントのリストを 参照してください 。
原点に重心がある長方形 底辺がb 、高さが h の長方形 底辺と高さがあり、 その 重心が 原点にある 長方形を考えます。 は x 軸に対する断面 2 次モーメントを表します。は y 軸に対する断面 2 次モーメントを表します。は z 軸に対する極慣性モーメントを表します。
b
{\displaystyle b}
h
{\displaystyle h}
私
x
{\displaystyle I_{x}}
私
ええ
{\displaystyle I_{y}}
J
ず
{\displaystyle J_{z}}
私
x
=
∬
R
ええ
2
d あ =
∫
−
b 2
b 2
∫
−
h 2
h 2
ええ
2
d ええ d x =
∫
−
b 2
b 2
1 3
h
3
4
d x =
b
h
3
12
私
ええ
=
∬
R
x
2
d あ =
∫
−
b 2
b 2
∫
−
h 2
h 2
x
2
d ええ d x =
∫
−
b 2
b 2
h
x
2
d x =
b
3
h
12
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{x}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,dx={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint _{R}x^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,dx={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}
垂直軸定理を使用すると、 の値が得られます 。
J
ず
{\displaystyle J_{z}}
J
ず
=
私
x
+
私
ええ
=
b
h
3
12
+
h
b
3
12
=
b h
12
（
b
2
+
h
2
）
{\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
原点を中心とした環状部 内半径 r 1 、外半径 r 2の環状部 中心が原点にあり、外側の半径が 、内側の半径が である 環状体 について考えます 。環状体は対称であるため、 重心 も原点にあります。軸の 周りの極慣性モーメント は、 合成図形の方法によって決定できます。この極慣性モーメントは、半径 の円の極慣性モーメントから 半径 の円の極慣性モーメントを引いたものに等しく 、どちらも原点を中心としています。まず、原点に対する半径 の円の極慣性モーメントを導出しましょう。この場合、 と の 両方の成分を持つ が 既にわかっているので、 直接計算する方が簡単です。前のセクションで行ったように 直交座標 から断面2次モーメントを取得する代わりに、 極座標 を 使用してと を 直接 計算します 。
r
2
{\displaystyle r_{2}}
r
1
{\displaystyle r_{1}}
J
ず
{\displaystyle J_{z}}
ず
{\displaystyle z}
r
2
{\displaystyle r_{2}}
r
1
{\displaystyle r_{1}}
r
{\displaystyle r}
J
ず
{\displaystyle J_{z}}
r
2
{\displaystyle r^{2}}
x
{\displaystyle x}
ええ
{\displaystyle y}
私
x
{\displaystyle I_{x}}
J
ず
{\displaystyle J_{z}}
私
x 、
丸
=
∬
R
ええ
2
d あ =
∬
R
（
r 罪
θ
）
2
d あ =
∫
0
2 π
∫
0
r
（
r 罪
θ
）
2
（
r d r d θ
）
=
∫
0
2 π
∫
0
r
r
3
罪
2
θ
d r d θ =
∫
0
2 π
r
4
罪
2
θ
4
d θ =
π 4
r
4
J
ず 、
丸
=
∬
R
r
2
d あ =
∫
0
2 π
∫
0
r
r
2
（
r d r d θ
）
=
∫
0
2 π
∫
0
r
r
3
d r d θ
=
∫
0
2 π
r
4
4
d θ =
π 2
r
4
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{x,{\text{circle}}}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\iint _{R}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\sin ^{2}{\theta }\,dr\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}\sin ^{2}{\theta }}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\J_{z,{\text{circle}}}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}
さて、環状体の軸周りの極慣性モーメントは、上で述べたように、半径 の円 と半径 の円 の面積の二次モーメントの差です 。
z
{\displaystyle z}
r
2
{\displaystyle r_{2}}
r
1
{\displaystyle r_{1}}
J
z
=
J
z
,
r
2
−
J
z
,
r
1
=
π
2
r
2
4
−
π
2
r
1
4
=
π
2
(
r
2
4
−
r
1
4
)
{\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
あるいは、 穴があるという事実を反映するために、最初に積分の限界を変更することもできます。これは次のように行われます。
d
r
{\displaystyle dr}
J
z
=
∬
R
r
2
d
A
=
∫
0
2
π
∫
r
1
r
2
r
2
(
r
d
r
d
θ
)
=
∫
0
2
π
∫
r
1
r
2
r
3
d
r
d
θ
=
∫
0
2
π
[
r
2
4
4
−
r
1
4
4
]
d
θ
=
π
2
(
r
2
4
−
r
1
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r_{2}^{4}}{4}}-{\frac {r_{1}^{4}}{4}}\right]\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}
任意のポリゴン 単純な多角形。ここで、 点「7」は点 1 と同じであることに注意してください。
n
=
6
{\displaystyle n=6}
XY 平面上の任意の 単純な多角形 の原点周りの面積の 2 次モーメントは、一般に、その面積を三角形の集合に分割した後、多角形の各セグメントからの寄与を合計することによって計算できます。この式は 靴ひもの式に関連しており、 グリーンの定理 の特殊なケースと考えることができます 。
ポリゴンに は、反時計回りに番号が付けられた頂点があると想定されます。ポリゴンの頂点が時計回りに番号付けされている場合、返される値は負になりますが、絶対値は正確になります。
n
{\displaystyle n}
I
y
=
1
12
∑
i
=
1
n
(
x
i
y
i
+
1
−
x
i
+
1
y
i
)
(
x
i
2
+
x
i
x
i
+
1
+
x
i
+
1
2
)
I
x
=
1
12
∑
i
=
1
n
(
x
i
y
i
+
1
−
x
i
+
1
y
i
)
(
y
i
2
+
y
i
y
i
+
1
+
y
i
+
1
2
)
I
x
y
=
1
24
∑
i
=
1
n
(
x
i
y
i
+
1
−
x
i
+
1
y
i
)
(
x
i
y
i
+
1
+
2
x
i
y
i
+
2
x
i
+
1
y
i
+
1
+
x
i
+
1
y
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}
ここで、は ポリゴンの - 番目の頂点 の座標です 。また、は最初の頂点の座標、つまり、 および と等しいと仮定します 。 [6] [7] [8] [9]
x
i
,
y
i
{\displaystyle x_{i},y_{i}}
i
{\displaystyle i}
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n}
x
n
+
1
,
y
n
+
1
{\displaystyle x_{n+1},y_{n+1}}
x
n
+
1
=
x
1
{\displaystyle x_{n+1}=x_{1}}
y
n
+
1
=
y
1
{\displaystyle y_{n+1}=y_{1}}
参照
参考文献
^ Beer, Ferdinand P. (2013). Vector Mechanics for Engineers (第10版). ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 471. ISBN 978-0-07-339813-6 慣性モーメントという用語よりも、二次モーメントという用語の方が適切です。なぜなら、論理的には、慣性モーメントは質量の積分を表すためにのみ使用されるべきだからです (セクション 9.11 を参照)。ただし、工学の実務では、慣性モーメントは質量だけでなく面積にも関連して使用されます 。 ^ Pilkey, Walter D. (2002). 弾性梁の解析と設計 . John Wiley & Sons, Inc. p. 15. ISBN 978-0-471-38152-5 。 ^ Beer, Ferdinand P. (2013). 「第 9.8 章: 慣性積」。 エンジニアのためのベクトル力学 (第 10 版)。ニューヨーク: McGraw-Hill。p. 495。ISBN 978-0-07-339813-6 。 ^ Hibbeler, RC (2004). 材料の静 力学 と力学（第2版）。ピアソン・プレンティス・ホール。ISBN 0-13-028127-1 。 ^ Beer, Ferdinand P. (2013). 「第 9.6 章: 平行軸定理」。 エンジニアのためのベクトル力学 (第 10 版)。ニューヨーク: McGraw-Hill。p. 481。ISBN 978-0-07-339813-6 。 ^ Hally, David (1987). 多角形のモーメントの計算 (PDF) (技術レポート). カナダ国防省. 技術覚書 87/209. 2020年3月23日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF) 。 ^オブレゴン、 ホアキン (2012)。機械的対称性。AuthorHouse。ISBN 978-1-4772-3372-6 。 ^ Steger, Carsten (1996). 「多角形の任意モーメントの計算について」 (PDF) . S2CID 17506973. 2018-10-03 に オリジナル (PDF)からアーカイブ。 ^ Soerjadi, Ir. R. 「多角形のモーメントの計算とその応用」
ウィキメディア・コモンズには、面積の2次モーメント に関連するメディアがあります 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r_{2}^{4}}{4}}-{\frac {r_{1}^{4}}{4}}\right]\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95d01ecfc3a0f8a20cda014e8356e34f6214388)
