垂直軸定理

垂直軸定理（または平面図形定理）は、「層状物体の平面に垂直な軸（ z ）周りの慣性モーメント（_Iz）は、その平面内の互いに垂直な2つの軸（xとy）周りの慣性モーメントの合計であり、3つの軸はすべて同時に存在する」と述べています。

物体が平面上にあり、軸が物体の平面に垂直になるように、垂直軸 、 、 （原点 で交わる）を定義する。I _x、I y 、I zをそれぞれ_軸x 、_y、 z周りの慣性モーメントとする。すると、垂直軸定理は次のように述べる^[1]。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle O}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}}}$

この規則は、平行軸の定理と伸張規則と組み合わせて適用し、さまざまな形状の極慣性モーメントを見つけることができます。

平面物体が回転対称性を持ち、とが等しい場合、^[2] 直交軸定理により次の関係式が得られます。 ${\displaystyle I_{x}}$${\displaystyle I_{y}}$

${\displaystyle I_{z}=2I_{x}=2I_{y}}$

デカルト座標系で考えると、平面体の軸周りの慣性モーメントは次のように表される: ^[3]${\displaystyle z}$

${\displaystyle I_{z}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm=\int x^{2}\,dm+\int y^{2}\,dm=I_{y}+I_{x}}$

平面上では、これら 2 つの項はそれぞれ軸と軸周りの慣性モーメントであり、垂直軸定理が成り立ちます。この定理の逆も同様に導かれます。 ${\displaystyle z=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

では、回転軸からの距離を測定するため、y軸回転の場合、点の回転軸からの偏差距離はそのx座標 に等しくなることに注意してください。${\displaystyle \int x^{2}\,dm=I_{y}\neq I_{x}}$${\displaystyle \int r^{2}\,dm}$${\displaystyle r}$

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