地形ステアリング

流体力学において、地形ステアリングとは、渦度ポテンシャル保存則が流体塊の運動に与える影響のことである。つまり、流体塊は経路上の物理的障害物だけでなく、地形や緯度の変化にも反応する。日常生活で地形ステアリングが主に見られる 2 種類の「流体」は、大気中の空気(空気は流体力学では圧縮性流体とみなされる) と海洋中の水である。地形ステアリングの例としては、低気圧や海流の経路などがあげられる。

1869年、ケルビンは循環定理を発表しました。これは、保存的な体積力を持つ順圧性の理想流体は、閉ループの周りの循環を保存するというものです。 ^[1]これを一般化するために、ビャークネスは1898年に独自の循環定理を発表しました。^[2]ビャークネスはこの概念を非粘性流体、地衡流流体、傾圧流体に拡張し、方程式に項を追加しました。

異なるポテンシャル渦度の正確な数学的記述はすべて、ビャークネスの循環定理から得られ、次のように述べられる。

${\displaystyle {\frac {DC}{Dt}}=\int _{A}{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho ^{2}}}\cdot dA-2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}}}$。

ここで、は循環、つまり閉じた輪郭に沿った速度の線積分です。また、は物質微分、は密度、は圧力、は基準フレームの角速度、は赤道面への閉じた輪郭の面積投影です。これは、輪郭と赤道面の間の角度が大きいほど、この投影が小さくなることを意味します。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle D/Dt}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle A_{e}}$

この式は、流体の経路に沿った循環の変化は、圧力座標の密度の変化と等高線の赤道投影の変化によって影響を受けると述べています。ケルビンは、順圧流体と一定の投影の両方を想定しました。これらの仮定の下では、式の右辺はゼロになり、ケルビンの定理が見つかります。

比較的薄い一定密度の流体層を考え、底部に地形、上部に自由表面がある場合、浅水近似を使用することができる。この近似を用いて、ロスビーは1939年に^[3]浅水方程式を流体の深さにわたって積分することにより、次のこと を示しました。

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta +f}{h}}\right)=0}$.      （１）

ここでは相対渦度、はコリオリのパラメータ、 は水層の高さです。物質導関数内の量は、後に浅水位渦度と呼ばれるようになりました。 ${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$

一定電位温度の複数の層を持つ大気を考える場合、ベータ平面上の準2次元浅水方程式を使用することができる。1940年に^[4]ロスビーはこれを用いて次のことを示しました。

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta _{\theta }+f}{\Delta }}\right)=0}$     （２）

ここで、は等エントロピー面上の相対渦度、はコリオリのパラメータ、 は層内の個々の気柱の単位断面積の​​重さを測定する量です。 この最後の量は、渦の深さの尺度としても考えられます。 ここで定義される渦位は、ロスビー渦位とも呼ばれます。 ${\displaystyle \zeta _{\theta }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Delta =\delta p/g}$

離散層の近似が緩和され、流体が連続的になると、保存される別の渦度が定義される。これは1942年にエルテルによって示された[ 5 ] ^{[ 6] 。}

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta _{a}\cdot \nabla \theta }{\rho }}\right)=0}$     （３）

ここで、 は絶対渦度、は潜在温度と密度の勾配です。 この潜在渦度はエルテル潜在渦度とも呼ばれます。 ${\displaystyle \zeta_{a}}$${\displaystyle \nabla \theta }$${\displaystyle \rho}$

この結果を得るには、まずケルビンの循環定理を思い出してください。

${\displaystyle {\frac {DC}{Dt}}=0}$。

座標系を局所接平面座標に変換し、鉛直座標として温位を使用すると、式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left(C+f\delta A\right)=0}$。

ここで、は参照フレーム内の局所循環、はコリオリのパラメータ、 は循環が存在する等エントロピー面上の領域です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta A}$${\displaystyle C}$

局所循環は等エントロピー面上の面積と相対渦度の積として近似できるため、循環方程式は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left(\delta A\left(\zeta _{\theta }+f\right)\right)=0}$。

流体塊が 2 つの等エントロピー層の間にあり、これらの層間の圧力差が増加すると、流体塊は「引き伸ばされ」ます。これは、塊の両側の潜在温度を保存しようとするためです。質量を保存するため、流体塊は水平方向に薄くなり、垂直方向には引き伸ばされます。したがって、等エントロピー表面の面積は、等潜在温度の線が圧力によってどれだけ速く変化するかの関数です。 ${\displaystyle \delta A}$

${\displaystyle \delta A=Const*g\left(-{\frac {\partial \theta }{\partial p}}\right)}$。

結局、これは

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta _{\theta }+f}{-g{\frac {\partial \theta }{\partial p}}}}\right)=0}$、

これは、Ertel が発見した結果とまったく同じですが、少し異なる方法で書かれています。層状の大気を想定すると、潜在温度の勾配は絶対差となり、層状の大気に対するケルビンの結果が得られることに注意してください。また、流体が非圧縮性である場合、層の深さが潜在温度の変化の尺度となることにも注意してください。すると、浅水位の潜在渦度の結果を再び抽出できます。

異なる近似から生じる渦位保存の異なる定義は、地球上で観測される現象を説明するために使用できます。流体塊は一定の渦位の線に沿って移動します。

海洋における大きな流れの規模は海洋の深さよりもはるかに大きいため、浅水近似、つまり (1) がよく使用されます。その上、相対渦度の変化はコリオリパラメータの変化に対して非常に小さいです。その直接的な結果として、流体塊の場合、海底の深さの変化は緯度の変化によって補正される必要があります。これは、両半球で海底が上昇し、水深が減少すると、赤道方向への偏向が生じることを意味します。

この現象は、地球上で見られるさまざまな海流を説明できます。その 1 つは、南極周極海流で水がたどる特定の経路です。この経路は直線ではなく、水深に応じて曲線を描きます。

もう一つはルソン海峡を流れる水です。研究者のメッツガーとハールバートは、3つの小さな浅瀬の存在が海峡を流れるのではなく海峡から遠ざかる流れを説明できることを示しました。^[7]

大気圏でも地形的な操縦が観測される。ほとんどの場合、大気の単純なモデル層と（2）で現象を説明できる。等エントロピー層が山を越えて西から東へ帯状に流れる場合、地形的な操縦によって風下側に波のようなパターンが形成され、最終的には尾根と谷が交互に現れる。^[8]

山に近づくと、層の深さはわずかに増加します。これは、等エントロピー面の傾斜が、層の上部では下部よりも緩やかであるためです。層の深さが増加すると、位置渦度の変化は、相対渦度とコリオリパラメータの増加によって相殺されます。渦は赤道から離れ始め、サイクロンのように回転し始めます。

山を越える間、層の深さが縮むため、効果は逆転します。渦は高気圧的に回転し、赤道に向かって移動します。渦が山を離れると、結果として緯度は以前よりも赤道に近づきます。つまり、渦は山の風下側で低気圧的に回転し、北向きになります。コリオリのパラメータと相対渦度は逆位相で増減します。その結果、山を越えた後は低気圧と高気圧の流れが交互に発生します。コリオリのパラメータと相対渦度の変化は互いに逆行し、波のような現象を生み出します。

東から西への帯状流を見ると、この効果は発生していません。これは、コリオリのパラメータの変化と相対渦度の変化が同じ方向に作用するためです。山を越えた後、しばらくすると、流れは再び帯状に戻ります。

説明した効果は、山の風下側でサイクロンが発生する傾向の原因であるとよく考えられています。その一例が、ロッキー山脈を通過する空気から発生する、いわゆるコロラド低気圧です。

• 潜在渦度
• 循環（物理学）
• ケルビンの循環定理
• 浅水方程式