ほぼマチュー演算子

数理物理学において、エミール・レオナール・マチュー^{[ 1 ]}によって導入されたマチュー演算子^{[ 2 ]}との類似性から名付けられたほぼマチュー演算子は、量子ホール効果の研究において現れる。それは次のように与えられる。

${\displaystyle [H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }u](n)=u(n+1)+u(n-1)+2\lambda \cos(2\pi (\omega +n\alpha ))u(n),\,}$

ヒルベルト空間上の自己共役作用素として作用する${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$。 ここ${\displaystyle \alpha ,\omega \in \mathbb {T} ,\lambda >0}$これらはパラメータです。純粋数学では、エルゴード的シュレーディンガー演算子の最もよく理解されている例の 1 つであるという事実から、その重要性が生まれます。たとえば、バリー・サイモンの「21 世紀のための」シュレーディンガー演算子に関する 15 問のうち 3 問 (現在はすべて解決済み) は、ほぼマチュー演算子を扱っていました。^{[ 3 ]}物理学では、ほぼマチュー演算子は、オーブリー・アンドレ モデルのように金属から絶縁体への相転移を研究するために使用できます。

のために${\displaystyle \lambda =1}$ほぼマチュー演算子は、ハーパー方程式と呼ばれることもあります。

この演算子のスペクトルの構造は、マーク・カッツによって最初に予想され、彼は次の予想の最初の証明に対して10杯のマティーニを提供すると申し出た。

すべての人にとって${\displaystyle \lambda \neq 0}$すべて非合理的${\displaystyle a}$、およびすべての整数${\displaystyle n_{1},n_{2}}$、 と${\displaystyle 0<n_{1}+n_{2}a<1}$ほぼマチュー演算子にはギャップがあり、${\displaystyle k(E)=n_{1}+n_{2}a}$、 どこ${\displaystyle k(E)}$は状態密度の積分です。

この問題は、バリー・サイモンによって「ドライ・テン・マティーニ問題」と名付けられました。これは、後に「テン・マティーニ問題」として知られるようになった、より弱い問題よりも「強い」問題だったからです。^{[ 1 ]}

すべての人にとって${\displaystyle \lambda \neq 0}$すべて非合理的${\displaystyle a}$、そしてすべて${\displaystyle \omega }$ほぼマチュー作用素のスペクトルはカントール集合である。

もし${\displaystyle \alpha }$は有理数である。$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$$ は周期演算子であり、フロケ理論によればそのスペクトルは純粋に絶対連続である。

さて、${\displaystyle \alpha }$非合理的です。変換以来${\displaystyle \omega \mapsto \omega +\alpha }$が最小であるため、スペクトルは$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$$依存しない${\displaystyle \omega }$一方、エルゴード性により、スペクトルの絶対連続部分、特異連続部分、純点部分のサポートは、ほぼ確実に独立している。${\displaystyle \omega }$今では、

• のために${\displaystyle 0<\lambda <1}$、$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$$確かに、純粋に絶対的に連続なスペクトルを持つ。^{[ 4 ]}（これはサイモンの問題の一つだった。）
• のために${\displaystyle \lambda =1}$、$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$$あらゆる無理数に対して、純粋に単一の連続スペクトルを持つのは確かです。${\displaystyle \alpha }$[ ^{5 ]​}
• のために${\displaystyle \lambda >1}$、$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$$ほぼ確実に純粋な点スペクトルを持ち、アンダーソン局在を示す。^{[ 6 ]}（ほぼ確実には確実に置き換えることはできないことが知られている。）^{[ 7 ] [ 8 ]}

スペクトル測度が特異であるのは、${\displaystyle \lambda \geq 1}$（ヨラム・ラストとサイモンの研究を通して） ^{[ 9 ]}リアプノフ指数 の下限から導かれる${\displaystyle \gamma (E)}$によって与えられた

${\displaystyle \gamma (E)\geq \max\{0,\log(\lambda )\}.\,}$

この下限は、セルジュ・オーブリーとジル・アンドレによる以前のほぼ厳密な議論の後、ジョセフ・アヴロン、サイモン、マイケル・ハーマンによって独立に証明された。実際、${\displaystyle E}$がスペクトルに属する場合、不等式は等式になる（オーブリー・アンドレの公式）、これはジャン・ブルガンとスヴェトラーナ・ジトミルスカヤによって証明された。^{[ 10 ]}

ほぼマチュー演算子のもう 1 つの顕著な特徴は、そのスペクトルがすべての無理数に対してカントール集合であることです。${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \lambda >0}$これは、アビラとジトミルスカヤが、当時すでに有名だった「テン・マルティーニ問題」^{[ 11 ]}（サイモンの問題の1つでもある）を、いくつかの以前の結果（パラメータに関して一般的に^{[ 12 ]}およびほぼ確実に^{[ 13 ]}を含む）に基づいて解決したことで示されました。

さらに、ほぼマチュー作用素のスペクトルのルベーグ測度は、

${\displaystyle \operatorname {Leb} (\sigma (H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }))=|4-4\lambda |\,}$

すべての人々のために${\displaystyle \lambda >0}$。 のために${\displaystyle \lambda =1}$これはスペクトルの尺度がゼロであることを意味する（これは最初にダグラス・ホフスタッターによって提唱され、後にサイモンの問題の一つとなった）。^{[ 14 ]}${\displaystyle \lambda \neq 1}$この公式は、オーブリーとアンドレによって数値的に発見され、ジトミルスカヤとクラソフスキーによって証明されました。それ以前に、ラスト^{[ 15 ] [ 16 ]}は、ほとんどのパラメータ値に対してこの公式を証明していました。

スペクトルの研究${\displaystyle \lambda =1}$これは、スペクトルを集合として示すホフスタッターの蝶形図につながる。