超共形代数

理論物理学において、超共形代数は、共形代数と超対称性を組み合わせた次数付きリー代数または超代数です。2 次元では、超共形代数は無限次元です。より高次元では、超共形代数は有限次元であり、超共形群を生成します(2 つのユークリッド次元では、リー超代数はリー超群を生成しません)。

次元空間の共形群は であり、そのリー代数は である。超共形代数は、ボソン因子と奇数生成子がのスピノル表現に変換するリー超代数である。有限次元単純リー超代数の Kac 分類を考えると、これはとの値が小さい場合にのみ発生する。(おそらく不完全な) リストは次のようになる。 ${\displaystyle (p+q)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)}$3+0D では; に感謝します。${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(N|4)}$2+1D では;のおかげです。${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)}$4+0D で ; に感謝します。${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|N)}$3+1D では; に感謝します。${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4|N)}$2+2D では; に感謝します。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)}$
• 5次元の実在形態${\displaystyle F(4)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)}$5+1D では、スピノルと基本表現が外部自己同型によって互いにマッピングされるという事実のおかげで、${\displaystyle {\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )}$

^{[1] [2]}によれば、 3+1次元の超対称性を持つ超共形代数は、ボゾン生成元、、、、U (1) R対称性、SU(N) R対称性、フェルミオン生成元、、およびによって与えられます。ここで、は時空インデックス、左手ワイルスピノルインデックス、右手ワイルスピノルインデックス、および内部R対称性インデックス を表します。${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle P_{\mu}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M_{\mu \nu}}$${\displaystyle K_{\mu}}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle T_{j}^{i}}$${\displaystyle Q^{\alpha i}}$${\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}}$${\displaystyle S_{i}^{\alpha}}$${\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}}$${\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\dots }$${\displaystyle \alpha,\beta,\dots}$${\displaystyle {\dot {\alpha}},{\dot {\beta}},\dots }$${\displaystyle i,j,\dots }$

ボゾン共形代数のリー超括弧は次のように与えられる。

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\ nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },D]=0}$

${\displaystyle [D,P_{\rho }]=-P_{\rho }}$

${\displaystyle [D,K_{\rho }]=+K_{\rho }}$

${\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D}$

${\displaystyle [K_{n},K_{m}]=0}$

${\displaystyle [P_{n},P_{m}]=0}$

ここで、η はミンコフスキー計量です。一方、フェルミオン生成器の計量は次のとおりです。

${\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{Q,S\right\}=}$

${\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0}$

ボゾン共形生成子は R 対称生成子と可換であるため、R 電荷を運びません。

${\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}$

${\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}$

しかし、フェルミオンジェネレータは R 電荷を運びます。

${\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [A,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}}$

ボゾン共形変換では、フェルミオン生成子は次のように変換されます。

${\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [D,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}$

${\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}$

2次元で最小の超対称性を持つ代数は、Neveu-Schwarz代数とRamond代数の2つです。追加の超対称性、たとえばN = 2超共形代数も可能です。

• 等角対称性
• スーパーヴィラソロ代数
• 超対称性代数