超可解群

数学では、すべての因数が巡回群である不変正規級数を持つ群は、超可解（または超可溶）である。超可解性は、可解性の概念よりも強い。

Gを群とする。Gが超可解であるためには、正規級数が存在する必要がある。

${\displaystyle \{1\}=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{s-1}\triangleleft H_{s}=G}$

各商群は 巡回的であり、それぞれはにおいて正規である。 ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}\;}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle G}$

対照的に、可解群の場合、定義では各商がアーベルであることが要求されます。別の観点から言えば、多巡回群は各商が巡回する非正規級数を持たなければなりませんが、各がにおいて正規である必要はありません。すべての有限可解群は多巡回であるため、これは定義間の重要な違いの 1 つと見なすことができます。具体的な例として、4 点上の交代群 は可解ですが、超可解ではありません。 ${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A_{4}}$

超可解群に関するいくつかの事実:

• 超可溶性基は常に多環式であり、したがって可溶性です。
• すべての有限生成 冪零群は超解可能である。
• すべてのメタ巡回群は超解可能である。
• 超可解群の交換子部分群は冪零群である。
• 超可解群の部分群と商群は超可解である。
• 有限の超可解群には、各因子が素数の順序で巡回する不変正規級数があります。
• 実際、素数は良い順序で選ぶことができます。すべての素数 p と、p より大きい素数の集合πに対して、有限の超可解群には一意のホールπ部分群があります。このような群は、順序付きシロータワー群と呼ばれることもあります。
• 平方自由順序を持つすべての群、および巡回シロー部分群 ( Z 群) を持つすべての群は、超解可能である。
• 有限超可解群のすべての既約複素表現は単項式、つまり部分群の線型特性から誘導されます。言い換えると、すべての有限超可解群は単項式群です。
• 超可解群内のすべての最大部分群は素数指数を持ちます。
• 有限群は、すべての最大部分群が素数指数を持つ場合にのみ超解可能である。
• 有限群が超解可能であるのは、部分群のすべての最大連鎖の長さが同じである場合のみです。これは、群の部分群の格子に関心のある人にとって重要であり、ジョルダン・デデキント連鎖条件と呼ばれることもあります。
• さらに、有限群が超可解となるのは、その部分群の格子が超可解格子である場合のみであり、これはジョルダン-デデキント連鎖条件の大幅な強化です。
• バウムの定理によれば、すべての超可解な有限群には、時間O ( n log n )で実行されるDFTアルゴリズムがあります。^{[説明が必要]}