スーパーモジュール

数学において、超加群とは、超環または超代数上のZ ₂次数付き加群のことである。超加群は、理論物理学における超対称性の概念を研究するための数学的枠組みである超線形代数において現れる。

可換超代数上の超加群は、（純粋に偶数の）体K上の超ベクトル空間の一般化と見なすことができる。超線形代数においては、超加群は超ベクトル空間よりも重要な役割を果たすことが多い。その理由は、スカラーの体を奇数変数を含むように拡張することが必要または有用である場合が多いからである。そうすることで、体から可換超代数へ、そしてベクトル空間から加群へと移行することになる。

本稿では、特に断りのない限り、すべての超代数は結合法則と単位元を持つものと仮定する。

A を固定された超代数とする。A上の右超加群とは、A上の右加群Eで、直和分解を持つもの（アーベル群として）である。

${\displaystyle E=E_{0}\oplus E_{1}}$

Aの要素による乗算が以下を満たす

${\displaystyle E_{i}A_{j}\subseteq E_{i+j}}$

Z ₂のすべてのiとjについて。部分群E _iは右A ₀ -加群である。

E _iの要素は同次であると言われます。同次要素xの偶奇性は| x | で表され、それがE ₀に属するかE ₁に属するかによって 0 または 1 になります。偶奇性 0 の要素は偶数、偶奇性 1 の要素は奇数と言われます。a が同次スカラーで、x が E の同次要素である場合、 | x · a |は同次であり、| x · a | = | x | + | a | となります。

同様に、左超加群と超双加群は、 A上の左加群または双加群であって、スカラー乗法が明らかな方法で次数付けを尊重するものと定義される。A が超可換である場合、 A上のすべての左超加群または右超加群は、と設定することにより超双加群とみなすことができる。

${\displaystyle a\cdot x=(-1)^{|a||x|}x\cdot a}$

同次要素a ∈ Aおよびx ∈ Eに対して、線形性により拡張する。A が純粋に偶数である場合、これは通常の定義に帰着する。

スーパーモジュール間の準同型とは、次数を保持するモジュール準同型のことである。EとF をA上の右スーパーモジュールとする。

${\displaystyle \phi :E\to F\,}$

はスーパーモジュール準同型である。

• ${\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)\,}$
• ${\displaystyle \phi (x\cdot a)=\phi (x)\cdot a\,}$
• ${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{i}\,}$

すべてのa ∈ Aおよびすべてのx、y ∈ Eに対して。 EからFへのすべてのモジュール準同型の集合は Hom( E、F )で表されます。

多くの場合、超加群間の射のより大きなクラスを考慮することが必要または便利です。A を超可換代数とします。このとき、A上のすべての超加群は自然な方法で超双加群とみなされます。超加群EとFに対して、Hom ( E , F ) をすべての右A 線形写像 (つまり、次数なしの右A加群とみなされるEからFへのすべての加群準同型)の空間とします。Hom ( E , F )には自然な次数付けがあり、偶数準同型は次数付けを保存するものです。

$\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{i}}$

そして奇数準同型写像は、次数を反転させるものである。

${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{1-i}.}$

φ ∈ Hom ( E , F ) およびa ∈ Aが同次である場合、

${\displaystyle \phi (x\cdot a)=\phi (x)\cdot a\qquad \phi (a\cdot x)=(-1)^{|a||\phi |}a\cdot \phi (x)。}$

つまり、偶数準同型写像は右線形かつ左線形であるのに対し、奇数準同型写像は右線形であるが、左反線形である（次数自己同型写像​​に関して）。

集合Hom ( E , F ) は、次のように設定することで、A上の双加群の構造を与えることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\cdot \phi )(x)&=a\cdot \phi (x)\\(\phi \cdot a)(x)&=\phi (a\cdot x).\end{aligned}}}$

上記の次数付けにより、Hom ( E , F ) はA上のスーパーモジュールとなり、その偶数部分はすべての通常のスーパーモジュール準同型の集合となる。

${\displaystyle \mathbf {Hom} _{0}(E,F)=\mathrm {Hom} (E,F).}$

圏論の言葉で言えば、 A上のすべてのスーパーモジュールのクラスは、スーパーモジュール準同型を射とする圏を形成します。この圏は、スーパーテンソル積の下で対称モノイド閉圏であり、その内部 Hom 関手はHomで与えられます。

• ドリーニュ、ピエール；ジョン・W・モーガン（1999）。「超対称性に関するノート（ジョセフ・バーンスタインに倣って）」。量子場と弦：数学者のためのコース。第1巻。アメリカ数学会。41-97 頁。ISBN  0-8218-2012-5。
• Manin, YI (1997).ゲージ場理論と複素幾何学（第2 版）. ベルリン：シュプリンガー. ISBN 3-540-61378-1。
• Varadarajan, VS (2004).数学者のための超対称性入門. クーラント数学講義ノート11.アメリカ数学会. ISBN 0-8218-3574-2。