収縮マッピング

数学において、距離空間( M , d )上の縮約写像、または縮約写像、あるいはコントラクターとは、 MからM自身への関数 f であり、ある実数 d が存在するという性質を持つ。${\displaystyle 0\leq k<1}$Mのすべてのxとyに対して、

$${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}$$k の最小値をfのリプシッツ定数と呼びます。縮小写像はリプシッツ写像と呼ばれることもあります。上記の条件がk ≤ 1に対して満たされる場合 、写像は非拡大写像と呼ばれます。  

より一般的には、縮小写像の概念は距離空間間の写像に対して定義できる。したがって、( M , d ) と ( N , d' ) が 2 つの距離空間である場合、${\displaystyle f:M\rightarrow N}$定数が存在する場合、それは縮小写像である。${\displaystyle 0\leq k<1}$そのため $${\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)}$$Mのすべてのxとy について。

すべての縮小写像はリプシッツ連続であり、したがって一様連続である（リプシッツ連続関数の場合、定数kは必ずしも1より小さくなるわけではない）。

縮小写像は不動点を最大で 1 つ持ちます。さらに、バナッハの不動点定理は、空でない完備距離空間上のすべての縮小写像は一意の不動点を持ち、M内の任意のxに対して、反復関数列x、f ( x ) 、f ( f ( x ))、f ( f ( f ( x )))、 ... は不動点に収束すると述べています。この概念は、縮小写像がよく使用される反復関数系にとって非常に有用です。バナッハの不動点定理は、常微分方程式の解の存在を証明する際にも適用され、逆関数定理の証明の 1 つで使用されています。^{[ 1 ]}

縮小写像は動的計画法の問題において重要な役割を果たす。^{[ 2 ] [ 3 ]}

非拡大写像${\displaystyle k=1}$ヒルベルト空間における厳密に非拡大写像に一般化できる$\displaystyle {\mathcal {H}}}$以下の条件がすべてのxとyに対して成り立つ場合$\displaystyle {\mathcal {H}}}$: $${\displaystyle \|f(x)-f(y)\|^{2}\leq \,\langle xy,f(x)-f(y)\rangle ,}$$ どこ $${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|.}$$ これは特別なケースです${\displaystyle \alpha }$平均化された非拡大演算子${\displaystyle \alpha =1/2}$[ ^{4 ]}コーシー・シュワルツの不等式により^、厳密に非拡大写像は常に非拡大である。

厳密に非拡大写像のクラスは凸結合については閉じているが、合成については閉じていない。^{[ 5 ]}このクラスには、適切な凸関数で下半連続な関数の近接写像が含まれるため、空でない閉凸集合への直交射影も含まれる。厳密に非拡大作用素のクラスは、最大単調作用素のレゾルベントの集合に等しい。^{[ 6 ]}驚くべきことに、非拡大写像の反復では不動点を見つける保証はないが（例えば、-1 を乗算する場合）、確固たる非拡大性は、不動点が存在する場合、不動点への 大域的収束を保証するのに十分である。より正確には、$${\displaystyle \operatorname {Fix} f:=\{x\in {\mathcal {H}}\ |\ f(x)=x\}\neq \varnothing ,}$$ すると任意の初期点に対して${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {H}}}$反復 $${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad \forall n\in \mathbb {N} }$$ 固定点への収束をもたらす${\displaystyle x_{n}\to z\in \operatorname {Fix} f}$無限次元の設定では、この収束は弱い可能性がある。 ^{[ 5 ]}

部分縮小写像または部分縮小写像とは、距離空間 ( M , d ) 上の写像fであって、$${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(x,y);}$$$${\displaystyle d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\quad {\text{ただし、x=f(x)の場合を除く。}$$下請けfの像がコンパクトで あれば、fは不動点を持つ。^{[ 7 ]}

半ノルムの集合Pによって位相が与えられる局所凸空間( E , P )において、任意のp ∈ Pに対して、あるk _p < 1が存在してp ( f ( x ) − f ( y )) ≤ k _p p ( x − y )となるような写像fをp -縮小写像として定義することができる。すべてのp ∈ Pに対してfがp -縮小写像であり、 ( E , P ) が列的に完備である場合、f は任意の列x _{n +1} = f ( x _n )の極限として与えられる不動点を持ち、( E , P ) がハウスドルフである場合、不動点は一意である。^{[ 8 ]}

• 簡易地図
• 収縮（オペレーター理論）
• 変換
• 比較方程式
• ブラックウェルの縮小写像定理
• CLRgプロパティ

• イストラテスク、ヴァシレ・I. (1981).不動点理論入門. オランダ: D. ライデル. ISBN 978-90-277-1224-0。学部生レベルの入門編を提供する。
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003).不動点理論. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9。
• カーク、ウィリアム A.、シムズ、ブレイリー(2001)。『計量不動点理論ハンドブック』ロンドン：クルーワー・アカデミック。ISBN 978-0-7923-7073-4。
• ネイラー、アーチ・W.、セル、ジョージ・R. (1982).線形作用素理論の工学と科学における応用数理科学。第 40巻（第2 版）。ニューヨーク：スプリンガー。pp. 125–134。ISBN  978-0-387-90748-2。

• Bullo, Francesco (2022).動的システムの収縮理論. Kindle Direct Publishing. ISBN 979-8-8366-4680-6。